Produit scalaire ou pas ?

Exercice classique · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 15 — Espaces préhilbertiens réels · A. Produits scalaires

Énoncé

Les applications suivantes sont-elles des produits scalaires sur $R^{2}$ ? $φ (x, y) = 2 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}, ψ (x, y) = x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}, χ (x, y) = x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + 2 x_{2} y_{2} .$

Corrigé

Les trois sont bilinéaires symétriques. Caractère défini positif :

$φ (x, x) = 2 x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 0$ si $x \neq = 0$ : oui. $ψ (x, x) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} < 0$ pour $x = (0, 1)$ : non. $χ (x, x) = (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{2}^{2} > 0$ si $x \neq = 0$ (forme canonique, chapitre 2 !) : oui.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.