mathématiques MPSI · Chapitre 15 · Application directe du cours

Moindres carrés

Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Déterminer les réels $a, b$ qui minimisent $\int_{0}^{1} (t^{2} - a t - b)^{2} d t$ , et la valeur du minimum.

Corrigé

C'est la projection orthogonale de $t^{2}$ sur $R_{1} [X]$ : le résidu doit être orthogonal à $1$ et à $t$ : $\frac{1}{3} - \frac{a}{2} - b = 0, \frac{1}{4} - \frac{a}{3} - \frac{b}{2} = 0 ⟹ a = 1, b = - \frac{1}{6} .$ Minimum : $\frac{1}{180}$ . La droite $y = t - \frac{1}{6}$ est la meilleure approximation affine de la parabole au sens des moindres carrés — le principe de la régression.

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