L'identité du parallélogramme comme test

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'identité remarquable du cours, $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2$, qui n'est que la bilinéarité et la symétrie appliquées à $⟨u+v,u+v⟩$.

a) L'identité. Écrivons l'identité remarquable pour $y$ puis pour $-y$ : $$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2,\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2.$$ En additionnant, les termes $\pm 2⟨x,y⟩$ se détruisent : $$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$$

Interprétation. Construisons le parallélogramme de côtés $x$ et $y$ issus d'un même sommet. Ses diagonales sont $x+y$ et $x-y$ ; ses quatre côtés ont pour longueurs $\Vert x\Vert$, $\Vert y\Vert$, $\Vert x\Vert$, $\Vert y\Vert$. L'identité dit : la somme des carrés des deux diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés. Si le parallélogramme est un rectangle, $⟨x,y⟩=0$, les deux diagonales ont la même longueur $d$, et l'identité devient $2d^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$ : c'est Pythagore.

b) Polarisation. En soustrayant les deux identités remarquables au lieu de les ajouter, on obtient $\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2=4⟨x,y⟩$, soit $$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2),$$ et la première identité seule donne la forme du cours, $⟨x,y⟩=\frac{1}{2}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2)$. Dans les deux cas, le produit scalaire s'exprime à partir des seules normes : deux produits scalaires qui ont la même norme sont égaux. La norme détermine le produit scalaire.

c) Le test. Vérifions d'abord les trois propriétés de $N$. Homogénéité : $N(\lambda x)=|\lambda x_1|+|\lambda x_2|=|\lambda |N(x)$. Inégalité triangulaire : $|x_1+y_1|+|x_2+y_2|\le |x_1|+|y_1|+|x_2|+|y_2|$, par l'inégalité triangulaire dans $\mathbb{R}$, coordonnée par coordonnée. Séparation : une somme de deux valeurs absolues est nulle si et seulement si les deux le sont. $N$ a donc toutes les propriétés d'une norme.

Et pourtant elle ne vient d'aucun produit scalaire. Raisonnons par l'absurde : s'il existait un produit scalaire dont $N$ soit la norme, alors $N$ vérifierait l'identité du parallélogramme, démontrée au a) pour toute norme issue d'un produit scalaire. Testons-la sur $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$ : $$N(x+y{)}^2+N(x-y{)}^2=N(1,1{)}^2+N(1,-1{)}^2=2^2+2^2=8,2N(x{)}^2+2N(y{)}^2=2+2=4.$$ $8\ne 4$ : l'identité est en défaut. Aucun produit scalaire n'a $N$ pour norme.

Pour $N_{\infty }$. Mêmes vecteurs : $N_{\infty }(1,1{)}^2+N_{\infty }(1,-1{)}^2=1+1=2$, tandis que $2N_{\infty }(x{)}^2+2N_{\infty }(y{)}^2=4$. $2\ne 4$ : $N_{\infty }$ ne vient d'aucun produit scalaire non plus. Dans les deux cas, c'est la géométrie qui refuse : la « boule unité » de $N$ est un carré posé sur la pointe, celle de $N_{\infty }$ un carré droit, et un parallélogramme inscrit dans ces figures ne vérifie pas la relation des diagonales.

Le point délicat. Le raisonnement du c) ne prouve rien de positif sur $N$ ; il utilise une condition nécessaire — toute norme euclidienne satisfait le parallélogramme — pour exclure. C'est une identité, vraie sans hypothèse dans tout espace préhilbertien, qui devient un critère de refus dès qu'on la teste sur une norme candidate. (La réciproque, « toute norme vérifiant l'identité du parallélogramme vient d'un produit scalaire », est un théorème hors programme ; il se démontre en définissant le produit scalaire par la formule de polarisation, puis en vérifiant qu'il est bilinéaire — et c'est là que le parallélogramme sert.)

Ce que l'exercice installe. Le produit scalaire est entièrement codé par la norme : polarisation. Deux conséquences qu'on réutilisera sans cesse : une application linéaire qui conserve les normes conserve les produits scalaires ; et une norme n'est euclidienne que si elle passe le test du parallélogramme — la plupart des normes usuelles de l'analyse, valeur absolue de la somme ou maximum, ne le passent pas.