mathématiques MPSI · Chapitre 15 · Application directe du cours

Gram-Schmidt complet

Espaces préhilbertiens réels · C. Orthogonalité et Gram-Schmidt · niveau 2

Énoncé

Orthonormaliser la base $((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1))$ de $R^{3}$ canonique.

Corrigé

$u_{1} = (1, 1, 0)$ ; $u_{2} = (1, 0, 1) - \frac{1}{2} (1, 1, 0) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)$ ; $u_{3} = (0, 1, 1) - \frac{1}{2} u_{1} - \frac{1}{3} u_{2}^{'} = (- \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ . En normalisant : $e_{1} = \frac{1}{2} (1, 1, 0), e_{2} = \frac{1}{6} (1, - 1, 2), e_{3} = \frac{1}{3} (- 1, 1, 1) .$

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