Montrer que pour tous x, y : | ‖x‖ - ‖y‖ | ≤ ‖x - y‖ (seconde…

Stratégie : appliquer l'inégalité triangulaire à un découpage astucieux — deux fois, et symétriquement. L'astuce tient en une ligne : on écrit $x$ comme somme de $x-y$ et de $y$.

a) Une première inégalité. Pour tous $x,y$ : $$\Vert x\Vert =\Vert (x-y)+y\Vert ⩽\Vert x-y\Vert +\Vert y\Vert ,\text{d’ouˋ}\Vert x\Vert -\Vert y\Vert ⩽\Vert x-y\Vert .$$

b) La seconde, par symétrie. Le même calcul en échangeant les rôles de $x$ et $y$ donne $$\Vert y\Vert -\Vert x\Vert ⩽\Vert y-x\Vert =\Vert x-y\Vert$$ (la dernière égalité parce que $\Vert -u\Vert =|-1|\Vert u\Vert =\Vert u\Vert$).

⚠️ Le second passage n'est pas une redite. Sans lui, on n'aurait qu'une majoration d'un seul côté, et rien n'autoriserait à écrire une valeur absolue. Ce sont les deux inégalités ensemble — encadrant $\Vert x\Vert -\Vert y\Vert$ entre $-\Vert x-y\Vert$ et $+\Vert x-y\Vert$ — qui donnent le résultat, et c'est la symétrie $\Vert y-x\Vert =\Vert x-y\Vert$ qui permet de les réunir sous le même majorant.

$$\boxed{|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |⩽\Vert x-y\Vert }$$

c) La norme est $1$-lipschitzienne. L'application $N:E\to \mathbb{R}$, $x\mapsto \Vert x\Vert$, vérifie donc $$|N(x)-N(y)|⩽1\times \Vert x-y\Vert \text{pour tous }x,y\in E:$$ elle est lipschitzienne de rapport $1$. Une application lipschitzienne est uniformément continue, donc continue : pour $\epsilon >0$, le choix $\delta =\epsilon$ convient quel que soit le point où l'on se place. La constante $1$ est optimale (prendre $y=0$ : $|\Vert x\Vert -0|=\Vert x-0\Vert$, l'inégalité est une égalité).

Contrôle. $x=(1,2,3)$, $y=(4,-1,2)$ : $\Vert x\Vert =\sqrt{14}\approx 3,742$, $\Vert y\Vert =\sqrt{21}\approx 4,583$, différence $\approx 0,841$ ; et $x-y=(-3,3,1)$, $\Vert x-y\Vert =\sqrt{19}\approx 4,359⩾0,841$ ✓ — inégalité largement stricte. Cas d'égalité : $y=2x$ avec $x=(1,0)$ donne $|1-2|=1$ et $\Vert x-2x\Vert =\Vert (-1,0)\Vert =1$ ✓ ; l'égalité a lieu quand $x$ et $y$ sont colinéaires de même sens, cas d'égalité de l'inégalité triangulaire.

Ce que l'exercice installe. La continuité de la norme est utilisée sans arrêt et presque toujours sans être nommée : c'est elle qui autorise à passer à la limite dans une inégalité, à écrire $u_n\to u⟹\Vert u_n\Vert \to \Vert u\Vert$, ou à affirmer qu'une suite bornée en norme le reste à la limite. On la reverra au chapitre 16 sous le nom de continuité uniforme, dont « lipschitzienne » est le cas le plus fort et le plus commode.