Pour x, y non nuls, on définit l'angle θ ∈ [0, π] par cos θ = (⟨ x…

Stratégie : d'abord justifier que la définition a un sens, ensuite calculer. C'est Cauchy-Schwarz qui rend l'angle définissable ; sans lui, l'énoncé n'aurait pas de contenu.

a) Pourquoi $\theta$ existe et est unique. Cauchy-Schwarz donne $|⟨x,y⟩|⩽\Vert x\Vert \Vert y\Vert$, donc le quotient appartient à $[-1,1]$. Or $\cos$ réalise une bijection de $[0,\pi ]$ sur $[-1,1]$ : il existe un unique $\theta \in [0,\pi ]$ tel que $\cos \theta$ vaille ce quotient.

b) Dans ${\mathbb{R}}^4$. $x=(1,1,1,1)$, $y=(1,0,0,0)$ : $$⟨x,y⟩=1,\Vert x\Vert =\sqrt{4}=2,\Vert y\Vert =1,\cos \theta =\frac{1}{2}.$$ $$\boxed{\theta =\frac{\pi }{3}=60^{\circ }}$$

⚠️ Ce résultat est plus étrange qu'il n'en a l'air. La « grande diagonale » de l'hypercube de dimension $4$ fait $60^{\circ }$ avec une arête, alors qu'en dimension $2$ elle en fait $45^{\circ }$ et en dimension $3$ environ $54,7^{\circ }$. En dimension $n$, $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$ : la diagonale devient perpendiculaire à tous les axes. C'est le premier symptôme du « fléau de la dimension » — en grande dimension, deux vecteurs pris au hasard sont presque toujours presque orthogonaux, et l'intuition du plan cesse d'être un guide.

c) Entre $\sin$ et $\cos$ sur $\mathcal{C}([0,\pi ])$, avec $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }fg$ : $$⟨\sin ,\cos ⟩={\int }_0^{\pi }\sin t\cos t\mathrm{d}t={\left[\frac{{\sin }^{2}t}{2}\right]}_0^{\pi }=\frac{0}{2}-\frac{0}{2}=0.$$ $$\boxed{\sin \perp \cos \text{sur }[0,\pi ]:\theta =\frac{\pi }{2}=90^{\circ }}$$ (Leurs normes valent d'ailleurs la même chose : $\Vert \sin {\Vert }^2={\int }_0^{\pi }{\sin }^2=\frac{\pi }{2}={\int }_0^{\pi }{\cos }^2=\Vert \cos {\Vert }^2$.)

⚠️ L'orthogonalité dépend de l'intervalle, pas des courbes. Sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, les deux mêmes fonctions donnent $${\int }_0^{\pi /2}\sin t\cos t\mathrm{d}t={\left[\frac{{\sin }^{2}t}{2}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{1}{2}\ne 0:$$ elles ne sont plus orthogonales. « Orthogonal » n'est pas une propriété des fonctions, c'est une propriété du produit scalaire — donc de l'intervalle d'intégration.

Contrôle. Dans ${\mathbb{R}}^4$ : $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ ✓ et $\Vert x{\Vert }^2=4$ ✓. Pour les fonctions, deuxième calcul par linéarisation : $\sin t\cos t=\frac{\sin 2t}{2}$, et ${\int }_0^{\pi }\frac{\sin 2t}{2}\mathrm{d}t={\left[-\frac{\cos 2t}{4}\right]}_0^{\pi }=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0$ ✓ — même valeur par un autre chemin.

Ce que l'exercice installe. « Angle » et « orthogonalité » ne préexistent pas : c'est le produit scalaire qui les crée. Ils gardent alors un sens là où aucun dessin n'est possible — dans ${\mathbb{R}}^4$, et jusque entre deux fonctions. C'est cette métaphore transportée qui rend possible l'exercice suivant, où l'on découvre que $1$, $\cos$ et $\sin$ forment un trièdre orthogonal.