Montrer que ⟨ P, Q ⟩ = Σₖ₌₀ⁿ P(k) Q(k) est un produit scalaire sur…

Stratégie : trois axiomes gratuits, un quatrième qui est un théorème sur les polynômes. Tout l'exercice tient dans le caractère défini — et il ne se démontre pas par de l'algèbre bilinéaire, mais par le comptage des racines du chapitre 10.

a) Bilinéaire, symétrique, positive. L'application $P\mapsto P(k)$ est linéaire (évaluation), donc $(P,Q)\mapsto {\sum }_{k}P(k)Q(k)$ est bilinéaire, et visiblement symétrique. Enfin $$⟨P,P⟩=\sum _{k=0}^{n}P(k{)}^2⩾0$$ comme somme de carrés de réels.

b) Défini — le cœur de l'exercice. Supposons $⟨P,P⟩=0$. Une somme de carrés de réels est nulle si et seulement si chaque terme l'est : $$P(0)=P(1)=\cdots =P(n)=0.$$ $P$ admet donc au moins $n+1$ racines distinctes. Or $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$ : si $P$ était non nul, il serait de degré $⩽n$ et aurait au plus $n$ racines (chapitre 10). Contradiction. Donc $P=0$.

$$\boxed{⟨P,Q⟩=\sum _{k=0}^{n}P(k)Q(k)\text{est un produit scalaire sur }{\mathbb{R}}_n[X]}$$

⚠️ L'hypothèse « sur ${\mathbb{R}}_n[X]$ » n'est pas un décor : elle est l'exercice. Il faut strictement plus de points d'évaluation que le degré. Sur $\mathbb{R}[X]$ tout entier, la même formule n'est pas un produit scalaire : le polynôme $$P=X(X-1)(X-2)\cdots (X-n)$$ est non nul et vérifie $⟨P,P⟩=0$. Il n'y a pas là un défaut de rédaction : la forme est réellement dégénérée, et son noyau est l'idéal engendré par ce $P$.

Contrôle, sur $n=3$ (points d'évaluation $0,1,2,3$).

• $P=(X-1)(X-2)(X-3)\in {\mathbb{R}}_3[X]$, non nul : $P(0)=-6$, $P(1)=P(2)=P(3)=0$, donc $⟨P,P⟩=36\ne 0$ ✓ — conforme au caractère défini.
• $P=X(X-1)(X-2)(X-3)$, de degré $4$ : il s'annule aux quatre points, donc $⟨P,P⟩=0$ alors que $P\ne 0$. Il n'appartient pas à ${\mathbb{R}}_3[X]$ : c'est exactement là que l'argument du b) cesserait de fonctionner ✓.

Ce que l'exercice installe. L'application $P\mapsto (P(0),P(1),\dots ,P(n))$ est une isométrie de ${\mathbb{R}}_n[X]$ sur ${\mathbb{R}}^{n+1}$ canonique : c'est la traduction, en langage euclidien, de l'interpolation de Lagrange (un polynôme de degré $⩽n$ « est » la liste de ses $n+1$ valeurs). Orthonormaliser $(1,X,\dots ,X^n)$ pour ce produit scalaire fournit les polynômes orthogonaux discrets, outil de base du lissage de données échantillonnées — la version discrète des polynômes de Legendre du n° 13.