mathématiques MPSI · Chapitre 15 · Application directe du cours

Distance à un hyperplan

Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances · niveau 2

Énoncé

Calculer la distance de $x = (1, 2, 3)$ au plan $H : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ , ainsi que $p_{H} (x)$ .

Corrigé

$H = Vect (u)^{⊥}$ avec $u = (1, 1, 1)$ : $d (x, H) = \frac{∣ ⟨ u , x ⟩ ∣}{∥ u ∥} = \frac{6}{3} = 23, p_{H} (x) = (- 1, 0, 1) .$ (Cohérence : en notant $D = Vect (u)$ la droite dont $H$ est l'orthogonal, on a $p_{D} (x) + p_{H} (x) = x$ et $d (x, D)^{2} + d (x, H)^{2} = 2 + 12 = ∥ x ∥^{2}$ — Pythagore boucle la boucle.)

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