Le produit scalaire de Frobenius et l'orthogonalité des symétriques et des antisymétriques

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Deux propriétés de la trace, et elles seules : $\mathrm{tr}(M^{\top })=\mathrm{tr}(M)$ et $\mathrm{tr}(MN)=\mathrm{tr}(NM)$. Et, du chapitre sur les matrices, la décomposition ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n\oplus {\mathcal{A}}_n$, avec $M=\frac{M+M^{\top }}{2}+\frac{M-M^{\top }}{2}$.

a) Les quatre axiomes.

Bilinéarité. L'application $A\mapsto A^{\top }$ est linéaire, le produit matriciel est bilinéaire, la trace est linéaire : $(A,B)\mapsto \mathrm{tr}(A^{\top }B)$ est bilinéaire, comme composée d'applications linéaires en chaque variable.

Symétrie. La trace ne voit pas la transposition : $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}((A^{\top }B{)}^{\top })=\mathrm{tr}(B^{\top }A)=⟨B,A⟩$.

Caractère défini positif — c'est ici que tout se joue. Calculons le coefficient diagonal d'indice $(i,i)$ de $A^{\top }A$ : c'est ${\sum }_{k=1}^n(A^{\top }{)}_{i,k}{a}_{k,i}={\sum }_k{a}_{k,i}^2$. En sommant sur $i$, $$⟨A,A⟩=\mathrm{tr}\left(A^{\top }A\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^n{a}_{k,i}^2=\sum _{i,j}{a}_{i,j}^2\ge 0,$$ somme de carrés de réels. Elle est nulle si et seulement si chaque $a_{i,j}$ est nul, c'est-à-dire si et seulement si $A=0$. C'est un produit scalaire, et la norme associée est $\Vert A\Vert =\sqrt{{\sum }_{i,j}{a}_{i,j}^2}$, dite norme de Frobenius : ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ muni de ce produit scalaire n'est rien d'autre que ${\mathbb{R}}^{n^2}$ canonique, les coefficients servant de coordonnées.

Le point délicat. Le corps doit être $\mathbb{R}$, et c'est à la dernière ligne que cela sert : sur $\mathbb{C}$, la matrice $\left(\begin{array}{cc}1& i\\ i& -1\end{array}\right)$ est non nulle et vérifie $\mathrm{tr}(A^{\top }A)=1+i^2+i^2+1=0$. Une somme de carrés de complexes peut être nulle sans que les termes le soient.