Déterminer la projection orthogonale de x = (1, 0, 0, 1) sur le…

Stratégie : vérifier d'abord si la famille génératrice est déjà orthogonale. Si oui — et c'est le cas ici — on s'épargne tout Gram-Schmidt et la formule du projeté s'applique directement.

a) La famille est orthogonale. Avec $u_1=(1,1,0,0)$ et $u_2=(0,0,1,1)$ : $$⟨u_1,u_2⟩=1\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 1=0.$$ Les deux vecteurs sont non nuls et orthogonaux : $(u_1,u_2)$ est une base orthogonale de $F$, et $\dim F=2$.

b) Le projeté. Pour une base orthogonale (pas forcément normée), la formule est $$p_F(x)=\sum _k\frac{⟨x,u_k⟩}{\Vert u_k{\Vert }^2}{u}_k.$$ Ici $⟨x,u_1⟩=1+0=1$ avec $\Vert u_1{\Vert }^2=2$, et $⟨x,u_2⟩=0+1=1$ avec $\Vert u_2{\Vert }^2=2$ : $$p_F(x)=\frac{1}{2}(1,1,0,0)+\frac{1}{2}(0,0,1,1)=\frac{1}{2}(1,1,1,1).$$

c) La distance. $$x-p_F(x)=(1,0,0,1)-\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\Vert x-p_F(x){\Vert }^2=4\times \frac{1}{4}=1.$$

$$\boxed{p_F(x)=\frac{1}{2}(1,1,1,1),d(x,F)=1}$$

⚠️ Le dénominateur, qu'on oublie une fois sur deux. Le coefficient est $\frac{⟨x,u_k⟩}{\Vert u_k{\Vert }^2}$, pas $⟨x,u_k⟩$. L'oubli est invisible quand la famille est orthonormée — c'est précisément pour cela qu'il faut calculer les normes avant d'appliquer la formule. Ici $\Vert u_k{\Vert }^2=2\ne 1$ : sans le facteur $\frac{1}{2}$, on obtiendrait $(1,1,1,1)$, qui n'est pas le projeté (il n'est même pas le plus proche).

Contrôle — trois vérifications indépendantes.

• La caractérisation : le projeté est l'unique $p\in F$ tel que $x-p\perp F$. Or $⟨x-p,u_1⟩=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ ✓ et $⟨x-p,u_2⟩=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$ ✓.
• L'appartenance : $p=\frac{1}{2}{u}_1+\frac{1}{2}{u}_2\in F$ ✓.
• Pythagore : $\Vert x{\Vert }^2=\Vert p{\Vert }^2+d^2$, soit $2=1+1$ ✓.

Ce que l'exercice installe. $d(x,F)=1$ n'est pas une distance parmi d'autres : c'est le minimum de $\Vert x-f\Vert$ quand $f$ parcourt $F$, atteint en $p_F(x)$ et là seulement. Dans ${\mathbb{R}}^4$ aucun dessin n'existe, et pourtant tout se calcule exactement — c'est ce mécanisme, transporté aux espaces de fonctions, qui donnera les moindres carrés (n° 15) et les séries de Fourier.