Les polynômes de Legendre et la parité

La stratégie. Avant tout calcul, on exploite une symétrie : l'intervalle $[-1,1]$ est symétrique, et l'intégrale d'une fonction impaire y est nulle. Cela annule a priori la moitié des produits scalaires de Gram-Schmidt, et le reste tient en quelques intégrales de monômes.

a) Parités contraires. Si $P$ est pair et $Q$ impair (ou l'inverse), la fonction $t\mapsto P(t)Q(t)$ est impaire. L'intégrale d'une fonction impaire sur un segment centré en $0$ est nulle (chapitre sur l'intégration) : $⟨P,Q⟩=0$. Un polynôme pair et un polynôme impair sont toujours orthogonaux pour ce produit scalaire.

b) La récurrence. Notons ${\mathcal{H}}_n$ : « pour tout $k\le n$, $P_k$ est unitaire, de degré $k$, et de la parité de $k$ ». ${\mathcal{H}}_0$ est vraie : $P_0=1$. Supposons ${\mathcal{H}}_{n-1}$ et regardons $P_n=X^n-{\sum }_{k<n}\frac{⟨X^n,P_k⟩}{\Vert P_k{\Vert }^2}{P}_k$.

Les termes qui disparaissent. Si $k<n$ n'a pas la parité de $n$, alors $P_k$ (de la parité de $k$, par hypothèse) et $X^n$ sont de parités contraires, donc $⟨X^n,P_k⟩=0$ par le a). Seuls les $k$ de la parité de $n$ contribuent.

Degré et coefficient dominant. Chaque $P_k$ de la somme est de degré $k\le n-1$ ; la somme est donc de degré au plus $n-1$, et $P_n=X^n-(\text{degreˊ}\le n-1)$ est unitaire de degré $n$.

Parité. $X^n$ a la parité de $n$, et chaque $P_k$ qui contribue aussi (car $k$ a la parité de $n$) ; une combinaison linéaire de polynômes de même parité a cette parité. Donc $P_n$ a la parité de $n$. ${\mathcal{H}}_n$ est établie.

c) Les quatre premiers. On aura besoin des intégrales ${\int }_{-1}^1{t}^{2m}\mathrm{d}t=\frac{2}{2m+1}$ (et $0$ pour les puissances impaires).

• $P_0=1$, avec $\Vert P_0{\Vert }^2={\int }_{-1}^{1}1=2$.
• $P_1=X-\frac{⟨X,P_0⟩}{2}{P}_0$, et $⟨X,1⟩=0$ par imparité : $P_1=X$, avec $\Vert P_1{\Vert }^2={\int }_{-1}^1{t}^2=\frac{2}{3}$.
• $P_2=X^2-\frac{⟨X^2,P_0⟩}{\Vert P_0{\Vert }^2}{P}_0-0\cdot P_1$ (le terme en $P_1$ disparaît par parité). Or $⟨X^2,1⟩=\frac{2}{3}$, donc $$P_2=X^2-\frac{2/3}{2}=X^2-\frac{1}{3},\Vert P_2{\Vert }^2={\int }_{-1}^1(t^2-\frac{1}{3}{)}^2\mathrm{d}t=\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{9}\cdot 2=\frac{2}{5}-\frac{2}{9}=\frac{8}{45}.$$
• $P_3=X^3-\frac{⟨X^3,P_1⟩}{\Vert P_1{\Vert }^2}{P}_1$ (les termes en $P_0$ et $P_2$, pairs, disparaissent). Or $⟨X^3,X⟩={\int }_{-1}^1{t}^4=\frac{2}{5}$, donc $$P_3=X^3-\frac{2/5}{2/3}X=X^3-\frac{3}{5}X.$$ Contrôle : $⟨P_3,P_1⟩={\int }_{-1}^1(t^4-\frac{3}{5}{t}^2)\mathrm{d}t=\frac{2}{5}-\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}=0$.

d) La distance. La distance de $X^3$ à ${\mathbb{R}}_2[X]$ est $\Vert X^3-p(X^3)\Vert$, où $p$ est la projection orthogonale sur ${\mathbb{R}}_2[X]$. Or Gram-Schmidt conserve les sous-espaces engendrés : $\mathrm{Vect}(P_0,P_1,P_2)=\mathrm{Vect}(1,X,X^2)={\mathbb{R}}_2[X]$, et $(P_0,P_1,P_2)$ en est une base orthogonale. La projection sur ${\mathbb{R}}_2[X]$ s'écrit donc, comme à l'exercice 4, $$p(X^3)=\sum _{k=0}^2\frac{⟨X^3,P_k⟩}{\Vert P_k{\Vert }^2}{P}_k,$$ et c'est exactement ce que la formule de Gram-Schmidt retranche à $X^3$ : $P_3=X^3-p(X^3)$. D'où $d(X^3,{\mathbb{R}}_2[X])=\Vert P_3\Vert$.

Le calcul. $\Vert P_3{\Vert }^2={\int }_{-1}^1(t^3-\frac{3}{5}t{)}^2\mathrm{d}t={\int }_{-1}^1(t^6-\frac{6}{5}{t}^4+\frac{9}{25}{t}^2)\mathrm{d}t=\frac{2}{7}-\frac{6}{5}\cdot \frac{2}{5}+\frac{9}{25}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{7}-\frac{12}{25}+\frac{6}{25}=\frac{2}{7}-\frac{6}{25}=\frac{50-42}{175}=\frac{8}{175}$. Donc $$d(X^3,{\mathbb{R}}_2[X])=\sqrt{\frac{8}{175}}=\frac{2\sqrt{14}}{35}\approx 0,214.$$ Second calcul, plus élégant : comme $P_3\perp {\mathbb{R}}_2[X]$ et $X^3-P_3\in {\mathbb{R}}_2[X]$, on a $\Vert P_3{\Vert }^2=⟨P_3,P_3⟩=⟨P_3,X^3⟩={\int }_{-1}^1(t^6-\frac{3}{5}{t}^4)\mathrm{d}t=\frac{2}{7}-\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{7}-\frac{6}{25}=\frac{8}{175}$. Même valeur.

Le cas général. Le même argument vaut pour tout $n$ : $\mathrm{Vect}(P_0,\dots ,P_{n-1})={\mathbb{R}}_{n-1}[X]$, la somme de Gram-Schmidt est le projeté de $X^n$ sur ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$, donc $P_n=X^n-p_{{\mathbb{R}}_{n-1}[X]}(X^n)$ et $d(X^n,{\mathbb{R}}_{n-1}[X])=\Vert P_n\Vert$. Le polynôme de Legendre $P_n$ est le reste de $X^n$ après projection sur les degrés inférieurs, et sa norme est la distance de $X^n$ aux polynômes de degré moindre.

Ce que l'exercice installe. Exploiter une symétrie avant tout calcul : la parité tue la moitié des produits scalaires, et ce qui reste est court. Et une lecture de l'algorithme de Gram-Schmidt : chaque étape est une projection orthogonale sur ce qui précède, si bien que les vecteurs produits sont des distances. Les polynômes orthogonaux — Legendre ici, d'autres pour d'autres produits scalaires — sont l'illustration que le programme demande, et l'outil de toute l'approximation polynomiale.