mathématiques MPSI · Chapitre 15 · Exercice de TD

Les polynômes de Legendre et la parité

Espaces préhilbertiens réels · C. Orthogonalité et Gram-Schmidt · niveau 2

Énoncé

Sur $R [X]$ muni de $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ , on note $(P_{n})_{n \geq 0}$ la famille obtenue en orthogonalisant, sans normaliser, la base canonique $(1, X, X^{2}, \dots)$ par l'algorithme de Gram-Schmidt : $P_{0} = 1$ et $P_{n} = X^{n} - k = 0 \sum n - 1 \frac{⟨ X ^{n} , P _{k} ⟩}{∥ P _{k} ∥ ^{2}} P_{k} .$

a) Montrer que si $P$ et $Q$ sont de parités contraires (l'un pair, l'autre impair), alors $⟨ P, Q ⟩ = 0$ .

b) Montrer par récurrence que $P_{n}$ est unitaire, de degré $n$ , et de la parité de $n$ . En déduire que dans la formule de Gram-Schmidt, seuls les indices $k$ de la parité de $n$ contribuent.

c) Calculer $P_{0}$ , $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ .

d) Montrer que $d (X^{3}, R_{2} [X]) = ∥ P_{3} ∥$ , et la calculer. Pourquoi, plus généralement, $d (X^{n}, R_{n - 1} [X]) = ∥ P_{n} ∥$ ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Avant tout calcul, on exploite une symétrie : l'intervalle $[- 1, 1]$ est symétrique, et l'intégrale d'une fonction impaire y est nulle. Cela annule a priori la moitié des produits scalaires de Gram-Schmidt, et le reste tient en quelques intégrales de monômes.

a) Parités contraires. Si $P$ est pair et $Q$ impair (ou l'inverse), la fonction $t \mapsto P (t) Q (t)$ est impaire. L'intégrale d'une fonction impaire sur un segment centré en $0$ est nulle (chapitre sur l'intégration) : $⟨ P, Q ⟩ = 0$ . Un polynôme pair et un polynôme impair sont toujours orthogonaux pour ce produit scalaire.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer par récurrence que $P_{n}$ est unitaire, de degré $n$ , et de la parité de $n$ . En déduire que dans la formule de Gram-Schmidt, seuls les indices $k$ de la parité de $n$ contribuent.

Élève

Je fais une récurrence : si $P_{n - 1}$ a la parité de $n - 1$ , je veux en déduire celle de $P_{n}$ . Mais la formule de $P_{n}$ fait intervenir tous les $P_{k}$ pour $k < n$ , pas seulement $P_{n - 1}$ .

C'est le bon diagnostic : une récurrence simple ne te donne pas assez. Quelle hypothèse de récurrence faut-il formuler pour disposer de tous les $P_{k}$ précédents à la fois ?

Élève

« Pour tout $k \leq n - 1$ , $P_{k}$ est unitaire, de degré $k$ , de la parité de $k$ . » Avec ça, la somme dans la formule est de degré au plus $n - 1$ . Mais elle mélange des $P_{k}$ pairs et impairs.

Regarde les coefficients de cette somme : que dit le a) sur $⟨ X^{n}, P_{k} ⟩$ lorsque $k$ n'a pas la parité de $n$ ? Quels termes restent alors, et quelle parité a une combinaison linéaire de polynômes de même parité ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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