Cauchy-Schwarz avec les bons vecteurs auxiliaires

La stratégie. L'inégalité de Cauchy-Schwarz, $⟨x,y{⟩}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$, produit une inégalité dès qu'on lui fournit deux vecteurs. Toute la difficulté est de les choisir pour que le produit scalaire soit une constante connue — ici $n$, puis $b-a$ — et que les deux normes soient les deux facteurs du produit à minorer. La clef est l'écriture $1=\sqrt{a_i}\times \frac{1}{\sqrt{a_i}}$.

a) Le cas discret. Dans ${\mathbb{R}}^n$ muni du produit scalaire canonique, posons $$x=(\sqrt{a_1},\dots ,\sqrt{a_n}),y=(\frac{1}{\sqrt{a_1}},\dots ,\frac{1}{\sqrt{a_n}}),$$ ce qui a un sens parce que les $a_i$ sont strictement positifs. Alors $$⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n\sqrt{a_i}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_i}}=n,\Vert x{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{a}_i,\Vert y{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}.$$ L'inégalité de Cauchy-Schwarz, $⟨x,y{⟩}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$, s'écrit exactement $$n^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right).$$

Cas d'égalité. Il y a égalité dans Cauchy-Schwarz si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires. Comme $x\ne 0$, cela signifie $y=\lambda x$ pour un réel $\lambda$ : $\frac{1}{\sqrt{a_i}}=\lambda \sqrt{a_i}$ pour tout $i$, soit $a_i=\frac{1}{\lambda }$ — le même réel pour tous les $i$. Réciproquement, si tous les $a_i$ valent $a$, le produit vaut $(na)\cdot \frac{n}{a}=n^2$. Égalité si et seulement si $a_1=a_2=\cdots =a_n$.

Le point délicat. L'hypothèse $a_i>0$ sert deux fois : pour que $\sqrt{a_i}$ existe, et pour que $\frac{1}{a_i}$ ait un sens. Sans elle, l'énoncé est faux : avec $a=(1,-1)$, le produit vaut $0\times 0=0<4$.

b) Le cas intégral. On se place dans $E=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ muni du produit scalaire $⟨u,v⟩={\int }_a^{b}u(t)v(t)\mathrm{d}t$ (cours). Posons $u=\sqrt{f}$ et $v=\frac{1}{\sqrt{f}}$ : ce sont des fonctions continues sur $[a,b]$, comme composées de $f$ continue et strictement positive avec la racine carrée et l'inverse. Alors $$⟨u,v⟩={\int }_a^b\sqrt{f(t)}\cdot \frac{1}{\sqrt{f(t)}}\mathrm{d}t={\int }_a^{b}1\mathrm{d}t=b-a,\Vert u{\Vert }^2={\int }_a^{b}f,\Vert v{\Vert }^2={\int }_a^b\frac{1}{f}.$$ Cauchy-Schwarz donne $(b-a{)}^2\le {\int }_a^{b}f\cdot {\int }_a^b\frac{1}{f}$.

Cas d'égalité. Égalité si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires : $\frac{1}{\sqrt{f}}=\lambda \sqrt{f}$, soit $f=\frac{1}{\lambda }$ : $f$ est constante. Réciproquement, si $f=c>0$, alors $\int f=c(b-a)$ et $\int \frac{1}{f}=\frac{b-a}{c}$, de produit $(b-a{)}^2$.

c) Moyennes. Divisons par $(b-a{)}^2>0$ : $$\left(\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\right)\left(\frac{1}{b-a}{\int }_a^b\frac{1}{f}\right)\ge 1.$$ En notant $\overline{f}$ la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ (strictement positive), cela s'écrit $$\overline{\left(\frac{1}{f}\right)}\ge \frac{1}{\overline{f}}:$$ la moyenne de l'inverse est au moins l'inverse de la moyenne, avec égalité si et seulement si $f$ est constante. C'est la version continue de « moyenne arithmétique supérieure à moyenne harmonique », que le a) donnait sous la forme $\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$.

Ce que l'exercice installe. Cauchy-Schwarz n'est pas une inégalité, c'est une machine à inégalités : on fabrique la quantité à minorer comme un produit scalaire de deux vecteurs bien choisis, et le cas d'égalité se lit sur la colinéarité. Le même geste, exactement, vaut pour les sommes et pour les intégrales — parce que c'est le même théorème sur deux produits scalaires différents. C'est lui qui explique qu'une vitesse moyenne sur un aller-retour soit toujours inférieure à la moyenne des deux vitesses.