Lire une matrice en base orthonormée

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Dans une base orthonormée, les coordonnées d'un vecteur sont ses produits scalaires avec les vecteurs de base : $x={\sum }_i⟨e_i,x⟩e_i$ (cours). La trace d'un endomorphisme ne dépend pas de la base (chapitre sur les matrices). Le projeté orthogonal $p_F(x)$ est l'unique élément de $F$ tel que $x-p_F(x)\in F^{\perp }$.

a) Les coefficients. Par définition de la matrice d'un endomorphisme, la colonne $j$ de $A$ est formée des coordonnées de $u(e_j)$ : $u(e_j)={\sum }_i{a}_{i,j}{e}_i$. Or dans une base orthonormée, la $i$-ième coordonnée d'un vecteur $v$ est $⟨e_i,v⟩$. Donc $a_{i,j}=⟨e_i,u(e_j)⟩$. En base orthonormée, tout coefficient est un produit scalaire.

b) La trace. $\mathrm{tr}(u)={\sum }_i{a}_{i,i}={\sum }_i⟨e_i,u(e_i)⟩$. Le membre de gauche est la trace de l'endomorphisme, définie comme la trace de sa matrice dans n'importe quelle base — elle n'en dépend pas, car deux matrices semblables ont la même trace. Donc la somme ${\sum }_i⟨e_i,u(e_i)⟩$, calculée dans n'importe quelle base orthonormée, donne toujours la même valeur.

c) Le projecteur orthogonal est « symétrique ». Soient $x,y\in E$. Décomposons $y=p(y)+(y-p(y))$ avec $p(y)\in F$ et $y-p(y)\in F^{\perp }$. Comme $p(x)\in F$, $$⟨p(x),y⟩=⟨p(x),p(y)⟩+⟨p(x),y-p(y)⟩=⟨p(x),p(y)⟩,$$ le second produit scalaire étant nul. L'expression $⟨p(x),p(y)⟩$ est symétrique en $x$ et $y$ ; en échangeant les rôles, $⟨x,p(y)⟩=⟨p(y),x⟩=⟨p(y),p(x)⟩$. D'où $$⟨x,p(y)⟩=⟨p(x),p(y)⟩=⟨p(x),y⟩.$$ Conséquence matricielle. Dans une base orthonormée quelconque $(e_i)$, le a) donne $a_{i,j}=⟨e_i,p(e_j)⟩=⟨p(e_i),e_j⟩=⟨e_j,p(e_i)⟩=a_{j,i}$. La matrice d'une projection orthogonale est symétrique dans toute base orthonormée.

d) La trace d'une projection orthogonale. Prenons une base orthonormée $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_r)$ de $F$ ($r=\dim F$) et complétons-la, par le théorème de la base orthonormée incomplète, en une base orthonormée $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)$ de $E$. Les ${\epsilon }_i$ pour $i>r$ sont orthogonaux à $F$, donc dans $F^{\perp }$. Dans cette base, $p({\epsilon }_i)={\epsilon }_i$ pour $i\le r$ et $p({\epsilon }_i)=0$ pour $i>r$ : la matrice de $p$ est diagonale avec $r$ coefficients $1$ et $n-r$ coefficients $0$, et $\mathrm{tr}(p)=r=\dim F$.

L'identité. Soit maintenant $(e_i)$ une base orthonormée quelconque. Par le b) et le c), $$\dim F=\mathrm{tr}(p)=\sum _{i=1}^n⟨e_i,p(e_i)⟩=\sum _{i=1}^n⟨p(e_i),p(e_i)⟩=\sum _{i=1}^n\Vert p_F(e_i){\Vert }^2.$$ La somme des carrés des longueurs des projetés des vecteurs d'une base orthonormée est la dimension de $F$, quelle que soit la base — une quantité géométrique qui ne se voit pas à l'œil nu.

e) Deux cas contrastés. Pour la symétrie orthogonale $s=2p-\mathrm{id}$ : $⟨x,s(y)⟩=2⟨x,p(y)⟩-⟨x,y⟩=2⟨p(x),y⟩-⟨x,y⟩=⟨s(x),y⟩$. Sa matrice en base orthonormée est donc symétrique elle aussi, et $\mathrm{tr}(s)=2\dim F-n=\dim F-\dim F^{\perp }$.

Pour $q(x,y)=(x+y,0)$ : c'est un projecteur, car $q(q(x,y))=q(x+y,0)=(x+y,0)$. Sa matrice dans la base canonique — orthonormée — est $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, non symétrique. Ce n'est donc pas une projection orthogonale : $\mathrm{Im}q=\mathrm{Vect}(1,0)$ et $\mathrm{Ker}q=\mathrm{Vect}(1,-1)$, et $⟨(1,0),(1,-1)⟩=1\ne 0$. Sa trace vaut $1=\dim \mathrm{Im}q$ — la trace de tout projecteur est son rang — mais l'identité du d) tombe : $\Vert q(e_1){\Vert }^2+\Vert q(e_2){\Vert }^2=\Vert (1,0){\Vert }^2+\Vert (1,0){\Vert }^2=2\ne 1$. C'est bien l'orthogonalité de la projection qui la portait.

Ce que l'exercice installe. En base orthonormée, une matrice se lit géométriquement : chaque coefficient est un produit scalaire, la trace est une somme de produits scalaires, et la symétrie de la matrice traduit une propriété intrinsèque, $⟨x,u(y)⟩=⟨u(x),y⟩$. Cette propriété, qu'on vient de rencontrer sur les projections et les symétries orthogonales, définit en deuxième année les endomorphismes symétriques, et le théorème spectral dira qu'ils sont exactement ceux qui se diagonalisent en base orthonormée.