Le trièdre de Fourier

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les formules de linéarisation du chapitre sur les complexes : $\cos a\cos b=\frac{1}{2}(\cos (a-b)+\cos (a+b))$, $\sin a\sin b=\frac{1}{2}(\cos (a-b)-\cos (a+b))$, $\sin a\cos b=\frac{1}{2}(\sin (a+b)+\sin (a-b))$. Et un fait élémentaire : pour tout entier $m\ne 0$, ${\int }_0^{2\pi }\cos (mt)\mathrm{d}t=[\frac{\sin (mt)}{m}{]}_0^{2\pi }=0$, et pour tout entier $m$, ${\int }_0^{2\pi }\sin (mt)\mathrm{d}t=0$ (pour $m=0$ l'intégrande est nul, sinon la primitive $-\frac{\cos (mt)}{m}$ prend la même valeur aux deux bornes).

a) Orthogonalité et normes. Soient $k,l\ge 0$ avec $k\ne l$. Par linéarisation, $$⟨c_k,c_l⟩=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\cos \right((k-l)t)+\cos ((k+l)t\left)\right)\mathrm{d}t=0,$$ car $k-l\ne 0$ et $k+l\ne 0$ (l'un au moins des deux est non nul, et si $k+l=0$ alors $k=l=0$, exclu). De même pour $k,l\ge 1$, $k\ne l$ : $$⟨s_k,s_l⟩=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\cos \right((k-l)t)-\cos ((k+l)t\left)\right)\mathrm{d}t=0.$$ Enfin, pour $k\ge 0$ et $l\ge 1$ quelconques, $$⟨c_k,s_l⟩=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\sin \right((l+k)t)+\sin ((l-k)t\left)\right)\mathrm{d}t=0,$$ sans aucune condition, l'intégrale d'un sinus d'entier étant toujours nulle sur $[0,2\pi ]$ — y compris pour $l=k$. La famille est orthogonale.

Les normes. $\Vert c_0{\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }1\mathrm{d}t=2\pi$. Pour $k\ge 1$, la linéarisation avec $k=l$ donne ${\cos }^2(kt)=\frac{1}{2}(1+\cos (2kt))$, donc $\Vert c_k{\Vert }^2=\frac{1}{2}(2\pi +0)=\pi$ ; et ${\sin }^2(kt)=\frac{1}{2}(1-\cos (2kt))$ donne $\Vert s_k{\Vert }^2=\pi$.

Le point délicat. Tout tient à ce que l'intervalle est une période entière : sur $[0,\pi ]$, $⟨c_0,s_1⟩={\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=2\ne 0$. L'orthogonalité n'est pas une propriété des fonctions, c'est une propriété du produit scalaire, donc de l'intervalle.

b) Liberté. Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre (cours) — et les $2n+1$ fonctions sont non nulles, leurs normes étant strictement positives. Donc la famille est libre, et c'est une base de $T_n$ : $\dim T_n=2n+1$. On n'a écrit aucune combinaison linéaire ; c'est le produit scalaire qui a fait le travail.

c) La projection. $T_n$ est de dimension finie ; la projection orthogonale sur $T_n$ s'exprime dans une base orthonormée $({\epsilon }_j)$ de $T_n$ par $p_{T_n}(f)={\sum }_j⟨{\epsilon }_j,f⟩{\epsilon }_j$ (cours). Une base orthonormée s'obtient en normalisant la base orthogonale $(u_j)$ du a) : ${\epsilon }_j=\frac{u_j}{\Vert u_j\Vert }$, d'où $$p_{T_n}(f)=\sum _j⟨\frac{u_j}{\Vert u_j\Vert },f⟩\frac{u_j}{\Vert u_j\Vert }=\sum _j\frac{⟨u_j,f⟩}{\Vert u_j{\Vert }^2}{u}_j.$$ Les coordonnées dans une base orthogonale sont les produits scalaires divisés par les carrés des normes. Il reste à identifier les coefficients : $$\frac{⟨c_0,f⟩}{\Vert c_0{\Vert }^2}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f=\frac{a_0}{2},\frac{⟨c_k,f⟩}{\Vert c_k{\Vert }^2}=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\cos (kt)\mathrm{d}t=a_k,\frac{⟨s_k,f⟩}{\Vert s_k{\Vert }^2}=b_k.$$ D'où $p_{T_n}(f)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n(a_k{c}_k+b_k{s}_k)$. Le $\frac{a_0}{2}$ n'est pas une convention bizarre : il vient de ce que $c_0$ n'a pas la même norme que les autres, $2\pi$ contre $\pi$.

d) Le calcul pour $f(t)=t$. D'abord $a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }t\mathrm{d}t=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{(2\pi {)}^2}{2}=2\pi$, donc $\frac{a_0}{2}=\pi$ : la valeur moyenne de $t$ sur $[0,2\pi ]$. Pour $k\ge 1$, une intégration par parties avec $u=t$, $v^{\prime }=\cos (kt)$, $v=\frac{\sin (kt)}{k}$ : $${\int }_0^{2\pi }t\cos (kt)\mathrm{d}t=[\frac{t\sin (kt)}{k}{]}_0^{2\pi }-{\int }_0^{2\pi }\frac{\sin (kt)}{k}\mathrm{d}t=0-0=0,$$ car $\sin (2k\pi )=0$ et l'intégrale d'un sinus d'entier est nulle. Donc $a_k=0$. Avec $v^{\prime }=\sin (kt)$, $v=-\frac{\cos (kt)}{k}$ : $${\int }_0^{2\pi }t\sin (kt)\mathrm{d}t=[-\frac{t\cos (kt)}{k}{]}_0^{2\pi }+{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos (kt)}{k}\mathrm{d}t=-\frac{2\pi \cos (2k\pi )}{k}+0=-\frac{2\pi }{k},$$ donc $b_k=-\frac{2}{k}$. Ainsi $$p_{T_n}(f)(t)=\pi -2\sum _{k=1}^n\frac{\sin (kt)}{k}.$$ La fonction $t\mapsto t$ n'a rien de périodique, et pourtant sa meilleure approximation par un polynôme trigonométrique est explicite : le projeté sur $T_n$ est le point de $T_n$ le plus proche de $f$ pour la distance intégrale.

Ce que l'exercice installe. Une famille orthogonale se manipule sans jamais résoudre de système : liberté, coordonnées, projection, tout est un produit scalaire. C'est la première brique de l'analyse de Fourier : les coefficients de Fourier sont des coordonnées, la somme partielle de la série est un projeté orthogonal, et l'inégalité de Bessel de l'exercice 8 dira que les coefficients ne peuvent pas être trop grands. Rien de cela ne demande plus que le théorème de projection de ce chapitre.