mathématiques MPSI · Chapitre 15 · Exercice de TD

L'orthogonal de l'orthogonal, et un hyperplan dont l'orthogonal est nul

Espaces préhilbertiens réels · C. Orthogonalité et Gram-Schmidt · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un espace préhilbertien réel.

a) Soient $X \subset Y$ deux parties de $E$ . Montrer que $Y^{⊥} \subset X^{⊥}$ , que $X \subset (X^{⊥})^{⊥}$ , et que $Vect (X)^{⊥} = X^{⊥}$ .

b) On suppose $E$ euclidien et $F$ un sous-espace. Montrer que $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

c) Soit $E = R [X]$ muni de $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t$ , et $H = {P \in E ∣ P (0) = 0}$ . Montrer que $H$ est un hyperplan de $E$ , puis que $H^{⊥} = {0}$ . (Si $Q ⊥ H$ , considérer $⟨ Q, X Q ⟩$ .) En déduire $(H^{⊥})^{⊥} = E \neq = H$ et $E \neq = H \oplus H^{⊥}$ . Laquelle des hypothèses du théorème du supplémentaire orthogonal est en défaut ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition : $X^{⊥} = {y \in E ∣ \forall x \in X, ⟨ x, y ⟩ = 0}$ , qui est un sous-espace. Le théorème du supplémentaire orthogonal : si $F$ est de dimension finie, $E = F \oplus F^{⊥}$ , et en dimension finie $n$ , $dim F^{⊥} = n - dim F$ . Le théorème « continue, positive, d'intégrale nulle, donc nulle » du chapitre sur l'intégration.

a) Les propriétés formelles.

Renversement. Soit $z \in Y^{⊥}$ : $⟨ y, z ⟩ = 0$ pour tout $y \in Y$ , donc en particulier pour tout $y \in X \subset Y$ : $z \in X^{⊥}$ . Plus la partie est grosse, plus son orthogonal est petit.

Double orthogonal. Soit $x \in X$ . Pour tout $y \in X^{⊥}$ , on a $⟨ x, y ⟩ = 0$ par définition même de $X^{⊥}$ . Donc $x$ est orthogonal à tout élément de $X^{⊥}$ : $x \in (X^{⊥})^{⊥}$ . Aucune hypothèse n'a servi.

Passage au sous-espace engendré. Comme $X \subset Vect (X)$ , le renversement donne $Vect (X)^{⊥} \subset X^{⊥}$ . Réciproquement, soit $y \in X^{⊥}$ et $v = \sum_{i} λ_{i} x_{i}$ une combinaison linéaire d'éléments de $X$ : par linéarité, $⟨ v, y ⟩ = \sum_{i} λ_{i} ⟨ x_{i}, y ⟩ = 0$ . Donc $y ⊥ Vect (X)$ . Égalité.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) On suppose $E$ euclidien et $F$ un sous-espace. Montrer que $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

Élève

Par le a), j'ai déjà $F \subset (F^{⊥})^{⊥}$ . Pour l'autre inclusion, je prends $x$ orthogonal à tout $F^{⊥}$ et j'essaie de montrer que $x \in F$ , mais je tourne en rond.

Ta voie peut aboutir en décomposant $x$ selon $E = F \oplus F^{⊥}$ , mais il y a plus direct. Tu as deux sous-espaces d'un espace de dimension finie, dont l'un contient l'autre : que suffit-il de comparer ?

Élève

Leurs dimensions. Je sais que $dim F^{⊥} = n - dim F$ avec $n = dim E$ , par le théorème du supplémentaire orthogonal.

Ce résultat vaut pour tout sous-espace de $E$ : que donne-t-il appliqué à $F^{⊥}$ lui-même ? Et où l'hypothèse « $E$ euclidien » intervient-elle, ce qui préparera le c) ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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