mathématiques MPSI · Chapitre 15 · Application directe du cours

Vérifier, normaliser

Espaces préhilbertiens réels · D. Bases orthonormées, projections, distances · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans $R^{3}$ canonique, vérifier que $v_{1} = (1, 2, 2)$ et $v_{2} = (2, 1, - 2)$ sont orthogonaux, et compléter $(\frac{v _{1}}{3}, \frac{v _{2}}{3})$ en une base orthonormée.

Corrigé

$⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = 2 + 2 - 4 = 0$ ; $∥ v_{1} ∥ = ∥ v_{2} ∥ = 3$ . Un troisième vecteur orthogonal aux deux : $v_{3} = (2, - 2, 1)$ , de norme 3 : $e_{3} = \frac{1}{3} (2, - 2, 1), (e_{1}, e_{2}, e_{3}) base orthonorm e ˊ e .$ (Famille orthogonale de vecteurs non nuls : libre ; trois vecteurs en dimension 3 : base.)

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