Exercices corrigés — Groupe symétrique et déterminants (mathématiques MPSI)
28 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Groupe symétrique
- Conjuguer un cycle Exercice de TD
- Le groupe alterné Exercice de TD
- Calculer la signature du « renversement » σ : k ↦ n + 1 - k de Sₙ. Application directe du cours
- Montrer que tout élément de Sₙ est produit de transpositions de la… Application directe du cours
- Décomposition et signature Application directe du cours
C. Propriétés et raisonnements
- Le déterminant de et la trace Exercice de TD
- Projecteurs, symétries, nilpotents : l'équation, puis la base adaptée Exercice de TD
- Les matrices antisymétriques et la parité de la dimension Exercice de TD
- Jeux sur les propriétés Application directe du cours
- La fonction det : Mₙ(𝕂) → 𝕂 est-elle linéaire ? Calculer det (A + B)… Application directe du cours
B. Calculs de déterminants
- Une famille cyclique : base si et seulement si est impair Exercice de TD
- La matrice à sur la diagonale et partout ailleurs Exercice de TD
- Un déterminant tridiagonal et une récurrence linéaire Exercice de TD
- Base ou pas ? Exercice classique
- Calculer, en factorisant d'abord par n-linéarité : …. Application directe du cours
- Calculer le déterminant circulant… Application directe du cours
- Développement selon une ligne ou une colonne. Calculer… Application directe du cours
- Soit E de dimension 2, de base e, et f une forme bilinéaire alternée… Application directe du cours
- Premiers déterminants Application directe du cours
- Par échelonnement Application directe du cours
- Déterminant à paramètre Application directe du cours
D. Vandermonde, comatrice, géométrie
- Les matrices entières dont l'inverse est entier Exercice de TD
- Problème — Le déterminant de Vandermonde, l'interpolation de Lagrange et la liberté des exponentielles Exercice de TD
- Vandermonde en dimension 3 Exercice classique
- Résoudre par les formules de Cramer le système… Exercice classique
- Inverse par la comatrice Application directe du cours
- Le déterminant comme facteur d'aire Application directe du cours
- Aire d'un triangle Application directe du cours