Calculer le déterminant circulant…

Stratégie : repérer une direction évidemment stable. Chaque ligne contient $a$, $b$, $c$ une fois et une seule : la somme des colonnes est donc une colonne constante. C'est le signal qu'il faut faire $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$.

a) La manœuvre. $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$ est une composée de deux transvections : le déterminant est inchangé. Avec $s=a+b+c$ : $$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}s& b& c\\ s& a& b\\ s& c& a\end{array}\right|=s\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 1& a& b\\ 1& c& a\end{array}\right|.$$

⚠️ Deux opérations de nature opposée, à ne pas confondre. $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$ ne change rien (transvection) ; la mise en facteur de $s$ dans la première colonne change le déterminant (linéarité), et le facteur $s$ doit être écrit. Croire qu'on « simplifie » sans le noter fait perdre un facteur $a+b+c$ tout entier.

b) On termine par transvections. $L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, puis développement selon $C_1$ : $$s\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& a-b& b-c\\ 0& c-b& a-c\end{array}\right|=s[(a-b)(a-c)-(b-c)(c-b)]=s[(a-b)(a-c)+(b-c{)}^2].$$ En développant : $(a-b)(a-c)=a^2-ab-ac+bc$ et $(b-c{)}^2=b^2-2bc+c^2$, dont la somme vaut $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$.

$$\boxed{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right|=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=a^3+b^3+c^3-3abc}$$

c) La factorisation complète, sur $\mathbb{C}$. Avec $j=e^{2i\pi /3}$ (chapitre 3), le second facteur se casse en deux : $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+jb+j^{2}c)(a+j^{2}b+jc),$$ d'où la forme définitive $$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right|=(a+b+c)(a+jb+j^{2}c)(a+j^{2}b+jc).$$ Les trois racines cubiques de l'unité donnent chacune un facteur — ce n'est pas un hasard, voir la dernière ligne.

Contrôle. $a=1$, $b=2$, $c=3$. Formule : $6\times (1+4+9-2-6-3)=6\times 3=18$. Calcul direct (développement selon $L_1$) : $1(1-6)-2(3-4)+3(9-2)=-5+2+21=18$ ✓. Autre contrôle, aux cas dégénérés : $a=b=c=1$ donne $s=3$ et second facteur $3-3=0$, donc $\det =0$ ✓ — la matrice est alors pleine de $1$, de rang $1$.

Ce que l'exercice installe. Le vecteur $(1,1,1)$ est envoyé sur $s(1,1,1)$ : c'est un vecteur propre, et l'on a en réalité trouvé les trois : $(1,j^k,j^{2k})$ pour $k=0,1,2$, associés aux valeurs $a+j^{k}b+j^{2k}c$. Le déterminant d'un circulant est le produit des valeurs du polynôme $a+bX+c{X}^2$ aux racines $n$-ièmes de l'unité — énoncé qui se généralise à toute taille et qui est, littéralement, la transformée de Fourier discrète qui diagonalise les convolutions.