mathématiques MPSI · Chapitre 14 · Exercice de TD

Le déterminant de $I_{n} + t A$ et la trace

Groupe symétrique et déterminants · C. Propriétés et raisonnements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (K)$ , de colonnes $C_{1}, \dots, C_{n}$ , et $(e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique de $K^{n}$ . Pour $t \in K$ , on pose $φ (t) = det (I_{n} + t A) = det (e_{1} + t C_{1}, e_{2} + t C_{2}, \dots, e_{n} + t C_{n}) .$

a) Vérifier en dimension $2$ que $φ (t) = 1 + t tr (A) + t^{2} det A$ .

b) En dimension $n$ , développer $φ (t)$ par $n$ -linéarité. Montrer que $φ$ est une fonction polynomiale de $t$ , de degré au plus $n$ , de terme constant $1$ , et que le coefficient de $t$ vaut $j = 1 \sum n det (e_{1}, \dots, e_{j - 1}, C_{j}, e_{j + 1}, \dots, e_{n})$ .

c) Montrer que $det (e_{1}, \dots, e_{j - 1}, C_{j}, e_{j + 1}, \dots, e_{n}) = a_{j, j}$ . En déduire que le coefficient de $t$ est $tr (A)$ , autrement dit $φ^{'} (0) = tr (A)$ .

d) Que vaut le coefficient de $t^{n}$ ? Retrouver le résultat du a).

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le déterminant d'une matrice est le déterminant de ses colonnes dans la base canonique ; il est linéaire par rapport à chaque colonne, les autres étant fixées, et alterné : nul dès que deux colonnes sont égales. C'est tout ce dont on aura besoin.

a) La dimension $2$ . Avec $A = (a c b d)$ , $φ (t) = det (1 + t a t c t b 1 + t d) = (1 + t a) (1 + t d) - t^{2} b c = 1 + t (a + d) + t^{2} (a d - b c),$ c'est-à-dire $φ (t) = 1 + t tr (A) + t^{2} det A$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le b), je développe la première colonne : $det (e_{1} + t C_{1}, \dots) = det (e_{1}, \dots) + t det (C_{1}, \dots)$ , puis la deuxième dans chaque terme… Le nombre de termes double à chaque étape et je ne sais pas écrire le résultat proprement.

À la fin, chaque terme est déterminé par les choix faits colonne par colonne. Comment indexer l'ensemble de ces choix, et de quoi dépend la puissance de $t$ dans le terme associé ?

Élève

Je peux indexer par la partie $S$ de ${1, \dots, n}$ des colonnes où j'ai pris $C_{j}$ ; la puissance de $t$ est alors le cardinal de $S$ .

Exactement. Les déterminants restants dépendent-ils de $t$ , et qu'en déduis-tu sur la nature de $φ$ ? Quelles parties $S$ contribuent alors au terme constant, puis au coefficient de $t$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Le déterminant de In​+tA et la trace

Énoncé

Corrigé de la question 1

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Le déterminant de $I_{n} + t A$ et la trace