Le déterminant de $I_n+tA$ et la trace

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le déterminant d'une matrice est le déterminant de ses colonnes dans la base canonique ; il est linéaire par rapport à chaque colonne, les autres étant fixées, et alterné : nul dès que deux colonnes sont égales. C'est tout ce dont on aura besoin.

a) La dimension $2$. Avec $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, $$\phi (t)=\det \left(\begin{array}{cc}1+ta& tb\\ tc& 1+td\end{array}\right)=(1+ta)(1+td)-t^{2}bc=1+t(a+d)+t^2(ad-bc),$$ c'est-à-dire $\phi (t)=1+t\mathrm{tr}(A)+t^2\det A$.

b) Le développement par $n$-linéarité. Le déterminant est linéaire en la première colonne : $\det (e_1+t{C}_1,\dots )=\det (e_1,\dots )+t\det (C_1,\dots )$. On recommence pour la deuxième colonne dans chacun des deux termes, puis pour la troisième, et ainsi de suite. Après les $n$ colonnes, on obtient $2^n$ termes : pour chaque partie $S$ de $\{1,\dots ,n\}$, le terme où l'on a choisi $C_j$ pour $j\in S$ et $e_j$ pour $j\notin S$, affecté du facteur $t^{|S|}$ : $$\phi (t)=\sum _{S\subset \{1,\dots ,n\}}{t}^{|S|}\det (u_1,\dots ,u_n),\text{ouˋ }{u}_j=C_j\text{ si }j\in S,u_j=e_j\text{ sinon.}$$ Chaque déterminant de cette somme est un scalaire qui ne dépend pas de $t$ : $\phi$ est donc une fonction polynomiale en $t$, de degré au plus $n$.

Terme constant. Il correspond à $S=\varnothing$ : $\det (e_1,\dots ,e_n)=1$.

Coefficient de $t$. Il correspond aux parties à un élément, $S=\{j\}$ : $$\sum _{j=1}^n\det (e_1,\dots ,e_{j-1},C_j,e_{j+1},\dots ,e_n).$$

c) Chaque terme du coefficient de $t$ vaut $a_{j,j}$. Fixons $j$ et notons $D_j=\det (e_1,\dots ,e_{j-1},C_j,e_{j+1},\dots ,e_n)$. La colonne $C_j$ s'écrit $C_j={\sum }_{i=1}^n{a}_{i,j}{e}_i$. Par linéarité en la $j$-ième colonne, $$D_j=\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}\det (e_1,\dots ,e_{j-1},e_i,e_{j+1},\dots ,e_n).$$ Si $i\ne j$, la famille $(e_1,\dots ,e_{j-1},e_i,e_{j+1},\dots ,e_n)$ contient deux fois le vecteur $e_i$ (en position $i$ et en position $j$) : son déterminant est nul, par le caractère alterné. Il ne reste que le terme $i=j$, où la famille est la base canonique, de déterminant $1$. Donc $D_j=a_{j,j}$.

(Même résultat en langage d'opérations élémentaires : retrancher à la colonne $C_j$ la combinaison ${\sum }_{i\ne j}{a}_{i,j}{e}_i$ des autres colonnes ne change pas le déterminant, et laisse $a_{j,j}{e}_j$ en position $j$ ; on sort le facteur $a_{j,j}$.)

Conclusion. Le coefficient de $t$ est ${\sum }_j{a}_{j,j}=\mathrm{tr}(A)$ : $$\phi (t)=\det (I_n+tA)=1+t\mathrm{tr}(A)+t^2(\cdots ),$$ et comme $\phi$ est polynomiale, ${\phi }^{\prime }(0)=\mathrm{tr}(A)$. La trace est la dérivée du déterminant en l'identité.

d) Le coefficient de $t^n$. Il correspond à $S=\{1,\dots ,n\}$ : c'est $\det (C_1,\dots ,C_n)=\det A$. En dimension $2$, il n'y a pas de place pour d'autres termes que ceux de degré $0$, $1$ et $2$ : $\phi (t)=1+t\mathrm{tr}(A)+t^2\det A$, ce qui est le a).

Le point délicat. Le développement par $n$-linéarité produit $2^n$ termes, et il faut résister à l'envie de les écrire : on ne calcule que ceux qu'on demande, en les triant par le nombre de facteurs $t$. Et la disparition des termes croisés en c) n'est pas un miracle : c'est le caractère alterné qui tue tout terme où un vecteur de base apparaît deux fois.

Ce que l'exercice installe. Le déterminant est une fonction polynomiale des coefficients de la matrice, et développer par multilinéarité en triant par degré est le geste qui, en deuxième année, produira le polynôme caractéristique $\det (A-\lambda I_n)$ — dont on saura alors, sans calcul, que le coefficient sous-dominant est la trace et le terme constant le déterminant. (La remarque $\det (I_n+tA)=1+t\mathrm{tr}(A)+o(t)$ est aussi celle qui explique pourquoi la trace mesure la variation infinitésimale d'un volume.)