Soit E de dimension 2, de base e, et f une forme bilinéaire alternée…

Stratégie : décomposer sur la base et développer par bilinéarité. Les quatre termes obtenus se réduisent à deux, parce que le caractère alterné tue les termes « diagonaux ». C'est un calcul de trois lignes — mais c'est le théorème qui fonde tout le chapitre.

a) Alterné $\Rightarrow$ antisymétrique. Par hypothèse $f(x,x)=0$ pour tout $x$. Appliquons-le à $x+y$ et développons par bilinéarité : $$0=f(x+y,x+y)=\underset{0}{\underbrace{f(x,x)}}+f(x,y)+f(y,x)+\underset{0}{\underbrace{f(y,y)}},\text{d’ouˋ }f(y,x)=-f(x,y).$$

b) Le développement. Écrivons $x=x_1{e}_1+x_2{e}_2$ et $y=y_1{e}_1+y_2{e}_2$. La bilinéarité donne quatre termes : $$f(x,y)=x_1{y}_1\underset{=0}{\underbrace{f(e_1,e_1)}}+x_1{y}_{2}f(e_1,e_2)+x_2{y}_1\underset{=-f(e_1,e_2)}{\underbrace{f(e_2,e_1)}}+x_2{y}_2\underset{=0}{\underbrace{f(e_2,e_2)}}$$ $$f(x,y)=(x_1{y}_2-x_2{y}_1)f(e_1,e_2).$$

c) On reconnaît le déterminant. Par définition, ${\det }_e(x,y)=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|=x_1{y}_2-x_2{y}_1$. Donc $$\boxed{f=\lambda {\det }_e\text{avec}\lambda =f(e_1,e_2)}$$ et réciproquement tout $\lambda {\det }_e$ est bien bilinéaire alternée. L'espace des formes bilinéaires alternées sur un plan est donc une droite vectorielle, dont ${\det }_e$ est une base.

⚠️ Ce qui est hypothèse et ce qui est conséquence. L'hypothèse est alternée ($f(x,x)=0$) ; l'antisymétrie en découle. L'inverse n'est vrai qu'en caractéristique $\ne 2$ : si l'on partait de l'antisymétrie seule, sur un corps où $2=0$ on aurait $f(x,x)=-f(x,x)=f(x,x)$, aucune information, et les termes $f(e_1,e_1)$ ne s'annuleraient plus — tout le calcul du b) s'écroulerait. C'est pourquoi le cours pose alternée comme définition.

Contrôle. Trois essais :

• $f={\det }_e$ : elle est bilinéaire alternée, et $\lambda ={\det }_e(e_1,e_2)=1$ ✓.
• $f(x,y)=3(x_1{y}_2-x_2{y}_1)$ : bilinéaire, $f(x,x)=0$, et $\lambda =f(e_1,e_2)=3$ ✓.
• $f(x,y)=x_1{y}_2$ : bilinéaire, mais $f((1,1),(1,1))=1\ne 0$ — pas alternée, et de fait elle n'est proportionnelle à aucun déterminant ✓. L'hypothèse n'est pas gratuite.

Ce que l'exercice installe. C'est le théorème d'unicité dont tout le chapitre découle. En dimension $n$, l'espace des formes $n$-linéaires alternées est encore une droite ; le déterminant dans une base $e$ est l'unique élément valant $1$ sur $e$. De cette unidimensionnalité descendent, sans nouveau calcul : l'invariance par transvection, le facteur $\epsilon (\sigma )$ quand on permute les vecteurs, la formule $\det (AB)=\det A\det B$ — et jusqu'au Vandermonde. Quand on ne sait plus pourquoi une propriété du déterminant est vraie, c'est presque toujours ici qu'il faut redescendre.