Les matrices entières dont l'inverse est entier

La stratégie. Une équivalence, donc deux sens de nature différente. Le sens direct vient de la multiplicativité du déterminant, lue dans $\mathbb{Z}$ ; la réciproque, de la formule de l'inverse par la comatrice — seul outil possible ici, car l'algorithme de Gauss-Jordan introduit des fractions en cours de route et ne prouverait rien sur les coefficients finaux.

a) Tout reste entier. Le déterminant est donné par la formule $\det A={\sum }_{\sigma \in {\mathcal{S}}_n}\epsilon (\sigma )a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (n),n}$ : une somme de produits de coefficients de $A$, affectés de signes. Si les $a_{i,j}$ sont entiers, chaque produit l'est, et la somme aussi : $\det A\in \mathbb{Z}$. Chaque cofacteur ${\Delta }_{i,j}=(-1{)}^{i+j}\det (A_{i,j})$ est, au signe près, le déterminant d'une matrice extraite de $A$, donc à coefficients entiers, donc entier : $\mathrm{Com}(A)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$.

b) Sens direct. Supposons $A$ inversible avec $A^{-1}\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$. Par le a), $\det A$ et $\det (A^{-1})$ sont deux entiers, et par multiplicativité, $$\det A\cdot \det (A^{-1})=\det (A{A}^{-1})=\det I_n=1.$$ Deux entiers dont le produit vaut $1$ sont tous deux égaux à $1$, ou tous deux égaux à $-1$ : les seuls éléments inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}$ sont $1$ et $-1$. Donc $\det A=\pm 1$.

Le point délicat. Tout est dans le mot « entiers ». Deux réels de produit $1$, il y en a une infinité de couples ; deux entiers, il n'y en a que deux. C'est l'arithmétique de $\mathbb{Z}$ qui conclut, pas l'algèbre linéaire.

Sens réciproque. Supposons $\det A=\pm 1$. Alors $\det A\ne 0$, donc $A$ est inversible, et la relation fondamentale du cours donne $$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{Com}(A{)}^{\top }=\pm \mathrm{Com}(A{)}^{\top }.$$ Par le a), $\mathrm{Com}(A)$ est à coefficients entiers ; sa transposée aussi, et son opposée aussi. Donc $A^{-1}\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$.

Conclusion. $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$ admet un inverse à coefficients entiers si et seulement si $\det A=\pm 1$.

c) Un groupe. Notons $G={\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$. La matrice $I_n$ est dans $G$ (coefficients entiers, déterminant $1$). Si $A,B\in G$, le produit $AB$ est à coefficients entiers (sommes de produits d'entiers) et $\det (AB)=\det A\cdot \det B\in \{1,-1\}$, donc $AB\in G$. Si $A\in G$, le b) montre que $A^{-1}$ est à coefficients entiers, et $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}=\pm 1$, donc $A^{-1}\in G$. Ainsi $G$ est un sous-groupe de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ : c'est le groupe des matrices entières inversibles dans les entiers.

d) Deux exemples. La matrice $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ a pour déterminant $2-1=1$ ; la formule de la comatrice donne $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, entière, et l'on vérifie $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2-1& -2+2\\ 1-1& -1+2\end{array}\right)=I_2$. La matrice $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ a pour déterminant $2$ : elle est inversible dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Q})$, d'inverse $\left(\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, mais pas dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Z})$. La comatrice de $B$ est bien entière ; c'est la division par $\det B=2$ qui fait sortir des entiers.

Ce que l'exercice installe. L'inversibilité dépend de l'anneau où l'on travaille, et le déterminant dit exactement où vit l'inverse : dans $\mathbb{K}$, il suffit que $\det A\ne 0$ ; dans $\mathbb{Z}$, il faut que $\det A$ soit inversible dans $\mathbb{Z}$. C'est la seule apparition du chapitre où la comatrice, inutile pour calculer, est indispensable pour démontrer : elle donne l'inverse sous forme d'un polynôme en les coefficients de $A$. Les matrices de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$ sont les changements de base du réseau ${\mathbb{Z}}^n$, et on les retrouve partout où un réseau apparaît, de la cristallographie à la cryptographie.