Problème — Le déterminant de Vandermonde, l'interpolation de Lagrange et la liberté des exponentielles

Pour $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$, on note $$V(a_1,\dots ,a_n)=\det \left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ a_1^2& a_2^2& \cdots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right),$$ la colonne $j$ étant formée des puissances successives de $a_j$, de l'exposant $0$ à l'exposant $n-1$.

1) Calculer $V(a,b)$ et $V(a,b,c)$, ce dernier par les opérations $L_3\leftarrow L_3-a{L}_2$ puis $L_2\leftarrow L_2-a{L}_1$. Vérifier la formule $V(a_1,\dots ,a_n)={\prod }_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)$ pour $n=2$ et $n=3$.

2) Soient $a_1,\dots ,a_{n-1}$ fixés, avec $n\ge 2$. On pose $P(X)=V(a_1,\dots ,a_{n-1},X)$. Montrer que $P$ est un polynôme de degré au plus $n-1$, dont le coefficient de $X^{n-1}$ est $V(a_1,\dots ,a_{n-1})$.

3) Montrer que $P(a_i)=0$ pour $1\le i\le n-1$. En déduire que si $a_1,\dots ,a_{n-1}$ sont deux à deux distincts, $P=V(a_1,\dots ,a_{n-1}){\prod }_{i=1}^{n-1}(X-a_i)$, puis établir par récurrence la formule $V(a_1,\dots ,a_n)={\prod }_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)$, en traitant aussi le cas où deux $a_i$ coïncident.

4) En déduire que $V(a_1,\dots ,a_n)\ne 0$ si et seulement si les $a_i$ sont deux à deux distincts.

5) (Lagrange.) Soient $a_1,\dots ,a_n$ deux à deux distincts. Montrer que $\Phi :P\mapsto (P(a_1),\dots ,P(a_n))$ est un isomorphisme de ${\mathbb{K}}_{n-1}[X]$ sur ${\mathbb{K}}^n$. En déduire l'existence et l'unicité du polynôme d'interpolation, et que les polynômes de Lagrange $L_i={\prod }_{j\ne i}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}$ forment une base de ${\mathbb{K}}_{n-1}[X]$.

6) (Exponentielles.) Soient ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n$ des réels. Montrer que la famille des fonctions $t\mapsto e^{{\lambda }_{i}t}$, $1\le i\le n$, est libre dans l'espace des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Énoncer le théorème obtenu.