mathématiques MPSI · Chapitre 14 · Exercice de TD

Une famille cyclique : base si et seulement si $n$ est impair

Groupe symétrique et déterminants · B. Calculs de déterminants · niveau 2

Énoncé

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de base $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ , avec $n \geq 2$ . On pose $x_{i} = e_{i} + e_{i + 1}$ pour $1 \leq i \leq n - 1$ , et $x_{n} = e_{n} + e_{1}$ .

a) Calculer $det_{e} (x_{1}, \dots, x_{n})$ pour $n = 2$ et $n = 3$ .

b) Développer $det_{e} (x_{1}, \dots, x_{n})$ par $n$ -linéarité. Parmi les $2^{n}$ termes, montrer que seuls $det_{e} (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})$ et $det_{e} (e_{2}, e_{3}, \dots, e_{n}, e_{1})$ peuvent être non nuls, et calculer le second à l'aide de la signature du cycle $(12 \dots n)$ .

c) En déduire que $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est une base de $E$ si et seulement si $n$ est impair.

d) Pour $n$ pair, exhiber une relation de dépendance linéaire entre les $x_{i}$ .

e) Retrouver le résultat du b) en développant le déterminant selon la première colonne.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Une famille de $n$ vecteurs est une base si et seulement si son déterminant dans une base est non nul (cours). On calcule donc ce déterminant — et la structure très particulière des $x_{i}$ va faire survivre deux termes seulement sur $2^{n}$ .

a) Petites dimensions. Pour $n = 2$ : $x_{1} = e_{1} + e_{2}$ et $x_{2} = e_{2} + e_{1}$ sont égaux, donc $det_{e} (x_{1}, x_{2}) = 0$ . Pour $n = 3$ , la matrice des coordonnées (en colonnes) est $110011101, de d e ˊ terminant 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0 + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1 + 1 = 2.$ Donc $det_{e} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2$ : base pour $n = 3$ , famille liée pour $n = 2$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Par $n$ -linéarité, j'ai $2^{n}$ termes $det_{e} (e_{c (1)}, \dots, e_{c (n)})$ avec $c (i) \in {i, i + 1}$ (et $e_{n + 1} = e_{1}$ ). Ceux où un vecteur se répète sont nuls, mais je ne vois pas comment prouver qu'il ne reste que deux termes.

Les termes restants correspondent aux $c$ injectives, donc aux permutations vérifiant $c (i) \in {i, i + 1}$ . Distingue selon $c (1)$ : si $c (1) = 1$ , quelles valeurs restent possibles pour $c (n)$ ?

Élève

$c (n) \in {n, 1}$ et $1$ est déjà pris, donc $c (n) = n$ ; puis $c (n - 1) = n - 1$ , et ainsi de suite : c'est l'identité. Si $c (1) = 2$ , la contrainte se propage vers l'avant de la même façon.

Ce second cas te donne une permutation précise : laquelle ? Pour calculer sa signature, peux-tu l'écrire comme un produit de transpositions et compter combien il en faut ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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Une famille cyclique : base si et seulement si n est impair

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

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