La fonction det : Mₙ(𝕂) → 𝕂 est-elle linéaire ? Calculer det (A + B)…

Stratégie : réfuter par le plus petit contre-exemple possible. Une propriété fausse se démolit par un exemple ; autant qu'il tienne en quatre coefficients.

a) Non, $\det$ n'est pas linéaire. L'homogénéité déjà échoue : pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, $$\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A\ne \lambda \det A\text{deˋs que }n⩾2.$$ Exemple minimal : $n=2$, $\lambda =2$, $A=I_2$ : $\det (2I_2)=\det \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=4$, alors que $2\det I_2=2$.

b) L'additivité échoue aussi. Prenons $$A=E_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=E_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A+B=I_2.$$ Les deux matrices sont de rang $1$, donc de déterminant nul, tandis que leur somme est inversible : $$\det (A+B)-\det A-\det B=1-0-0=1\ne 0.$$

$$\boxed{\det (A+B)-\det A-\det B=1:\text{le deˊterminant n’est ni homogeˋne, ni additif.}}$$

⚠️ D'où vient la confusion, exactement. Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne, les autres étant fixées — c'est le sens de « $n$-linéaire ». Ce n'est pas du tout la linéarité en la matrice. La règle correcte est $$\det (C_1+C_1^{\prime },C_2)=\det (C_1,C_2)+\det (C_1^{\prime },C_2):\text{une seule colonne bouge}.$$ Or dans l'exemple ci-dessus, $A$ et $B$ diffèrent de $A+B$ dans les deux colonnes à la fois : aucune règle de linéarité ne s'applique, et il n'y a pas lieu de s'étonner.

Contrôle : la règle correcte fonctionne, elle. Prenons $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, qui ne diffèrent que par une colonne. Alors $A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $$\det (A+B)=0=\det A+\det B✓$$ L'additivité vaut ici — parce que la seconde colonne est commune. Deuxième contrôle, dans l'autre sens : $A=B=I_2$ donne $\det (A+B)=\det (2I_2)=4$ contre $\det A+\det B=2$ ✓ : deux colonnes bougent, l'additivité tombe.

Ce que l'exercice installe. Il n'existe aucune formule utilisable pour $\det (A+B)$ — c'est pourquoi tout calcul de déterminant passe par des produits, des transvections et des développements, jamais par des sommes de matrices. Le contraste est saisissant avec le produit : $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, exactement, toujours. Le déterminant est un morphisme multiplicatif, et il ignore superbement l'addition.