Le déterminant comme facteur d'aire

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 14 — Groupe symétrique et déterminants · D. Vandermonde, comatrice, géométrie

Énoncé

Soit $u (x, y) = (2 x + y, x + y)$ . Calculer $det u$ et en déduire l'aire de l'image par $u$ du disque unité. Que dire d'une rotation ? d'une symétrie ?

Corrigé

$det u = 1$ : $u$ conserve les aires (le disque devient une ellipse… d'aire $π$ !). En général, $u$ multiplie les aires par $∣ det u ∣$ et préserve l'orientation si $det u > 0$ . Une rotation : déterminant $1$ . Une symétrie : déterminant $- 1$ — les aires sont conservées mais l'orientation est renversée : le signe du déterminant est un détecteur de miroir.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.