Résoudre par les formules de Cramer le système…

Stratégie : appliquer les formules, puis les redémontrer en une ligne par $n$-linéarité — c'est la démonstration qui explique pourquoi on remplace cette colonne-là.

a) Le calcul. $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$. $$\det A=2\cdot 1-1\cdot 1=1\ne 0$$ donc le système est de Cramer : solution unique. On remplace successivement chaque colonne par $B$ : $$\det A_x=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=3-2=1,\det A_y=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=4-3=1.$$

$$\boxed{x=\frac{1}{1}=1,y=\frac{1}{1}=1}$$

b) Pourquoi ça marche (une ligne). Notons $C_1,C_2$ les colonnes de $A$. Dire que $(x,y)$ est solution, c'est dire $B=x{C}_1+y{C}_2$. Alors, par linéarité en la première colonne puis parce que $\det$ est alterné : $$\det (B,C_2)=\det (x{C}_1+y{C}_2,C_2)=x\det (C_1,C_2)+y\underset{=0}{\underbrace{\det (C_2,C_2)}}=x\det A.$$ Or $\det (B,C_2)=\det A_x$ : d'où $x=\frac{\det A_x}{\det A}$. Le même calcul sur la seconde colonne donne $y$. C'est le caractère alterné qui fait disparaître l'inconnue qu'on ne veut pas : voilà pourquoi on remplace précisément la colonne de l'inconnue cherchée.

⚠️ Deux conditions à ne pas oublier. D'abord $\det A\ne 0$ : si $\det A=0$, les formules ne disent rien — ni qu'il y a des solutions, ni qu'il n'y en a pas ; il faut échelonner. Ensuite le placement : $A_x$ remplace la colonne de $x$, c'est-à-dire la première. Intervertir les deux échange $x$ et $y$ ; ici, où la solution est $(1,1)$, l'erreur serait invisible — raison de plus pour poser la règle avant de calculer.

Contrôle. $2\times 1+1=3$ ✓ et $1+1=2$ ✓.

c) Comparaison avec la voie du chapitre 13. Là-bas on calculait $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ puis $X=A^{-1}B=(3-2,-3+4)=(1,1)$ — même réponse. Les deux routes ne servent pas la même chose : l'inverse traite tous les seconds membres d'un coup ; Cramer donne une inconnue à la fois sans jamais calculer l'inverse.

Ce que l'exercice installe. Coût : Cramer demande $n+1$ déterminants de taille $n$, soit $\sim (n+1)!$ opérations par développement naïf — catastrophique dès $n=4$, là où Gauss coûte $\sim \frac{n^3}{3}$. Cramer n'est pas un algorithme, c'est un théorème : sa valeur est de rendre la solution explicite comme fraction rationnelle des coefficients. On en déduit sans calcul que la solution dépend continûment, et même de façon dérivable, des données — argument dont on se sert constamment en analyse et en physique, et jamais pour résoudre un système.