Vandermonde en dimension 3

Exercice classique · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 14 — Groupe symétrique et déterminants · D. Vandermonde, comatrice, géométrie

Énoncé

Démontrer que $V (a, b, c) = 1 a a^{2} 1 b b^{2} 1 c c^{2} = (b - a) (c - a) (c - b)$ , et en déduire l'unicité du polynôme de degré $\leq 2$ prenant des valeurs données en trois points distincts.

Corrigé

$L_{3} \leftarrow L_{3} - a L_{2}$ puis $L_{2} \leftarrow L_{2} - a L_{1}$ , développement et $n$ -linéarité : $V = (b - a) (c - a) (c - b) .$ Application : l'interpolation par $P = α + β X + γ X^{2}$ est un système dont la matrice a pour déterminant $V \neq = 0$ si les points sont distincts : système de Cramer — l'interpolation de Lagrange redémontrée par le déterminant.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.