mathématiques MPSI · Chapitre 14 · Exercice de TD

La matrice à $a$ sur la diagonale et $b$ partout ailleurs

Groupe symétrique et déterminants · B. Calculs de déterminants · niveau 2

Énoncé

Soient $a, b \in K$ , $n \geq 2$ , et $M_{n} (a, b) \in M_{n} (K)$ la matrice dont les coefficients diagonaux valent $a$ et tous les autres $b$ .

a) Calculer $det M_{2} (a, b)$ et $det M_{3} (a, b)$ .

b) Dans le cas général, effectuer $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$ , puis $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$ pour $i \geq 2$ ; en déduire $det M_{n} (a, b) = (a - b)^{n - 1} (a + (n - 1) b) .$

c) À $b \neq = 0$ fixé, pour quelles valeurs de $a$ la matrice est-elle inversible ?

d) Applications : $J_{n}$ désignant la matrice dont tous les coefficients valent $1$ , calculer $det J_{n}$ et $det (I_{n} + J_{n})$ ; retrouver que $a 11 1 a 1 11 a$ est inversible si et seulement si $a \in / {1, - 2}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Toutes les lignes de $M_{n} (a, b)$ ont la même somme, $a + (n - 1) b$ . C'est le signal : en ajoutant toutes les colonnes à la première, on fait apparaître une colonne constante, qu'on met en facteur ; le reste s'échelonne en une seule vague de transvections.

a) Petites tailles. Pour $n = 2$ : $det M_{2} = a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Pour $n = 3$ , la règle de Sarrus donne $det M_{3} = a^{3} + b^{3} + b^{3} - a b^{2} - a b^{2} - a b^{2} = a^{3} - 3 a b^{2} + 2 b^{3} .$ Vérifions que c'est $(a - b)^{2} (a + 2 b)$ : $(a^{2} - 2 ab + b^{2}) (a + 2 b) = a^{3} + 2 a^{2} b - 2 a^{2} b - 4 a b^{2} + a b^{2} + 2 b^{3} = a^{3} - 3 a b^{2} + 2 b^{3}$ . Les deux valeurs sont bien de la forme annoncée au b), avec $n = 2$ puis $n = 3$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Après $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$ , la première colonne ne contient que des $a + (n - 1) b$ ; je la remplace par une colonne de $1$ , sans changer le déterminant puisque je n'ai fait que des transvections. Mais à la fin, je ne retrouve pas le facteur $a + (n - 1) b$ .

Les ajouts de colonnes ne changent pas le déterminant, c'est vrai. Mais passer de la colonne de $a + (n - 1) b$ à une colonne de $1$ , ce n'est plus une transvection : quelle propriété du déterminant intervient alors, et que produit-elle ?

Élève

C'est la linéarité par rapport à la première colonne : je dois sortir le facteur $a + (n - 1) b$ devant le déterminant de la nouvelle matrice. Il reste à calculer celui-ci avec les opérations sur les lignes.

Après $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$ pour $i \geq 2$ , que deviennent dans la ligne $i$ le coefficient de la première colonne, le coefficient diagonal et les autres coefficients ? Quelle forme a la matrice obtenue, et comment calcules-tu alors son déterminant ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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La matrice à a sur la diagonale et b partout ailleurs

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

La matrice à $a$ sur la diagonale et $b$ partout ailleurs