Calculer, en factorisant d'abord par n-linéarité : ….

Stratégie : sortir les facteurs communs avant de calculer. Le déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne (et à chaque colonne) : un facteur commun à toute une ligne sort du déterminant. Trois lignes, trois facteurs à sortir — et le déterminant qui reste est presque trivial.

a) Factorisation ligne par ligne. $$L_1=2(1,2,3),L_2=3(1,2,4),L_3=5(1,1,1).$$ Donc $$\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 3& 6& 12\\ 5& 5& 5\end{array}\right|=2\times 3\times 5\times \underset{\Delta }{\underbrace{\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right|}}=30\Delta .$$

b) Le déterminant résiduel. $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ (transvections : $\Delta$ inchangé) : $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& -2\end{array}\right|\stackrel{\text{deˊv. }{C}_1}{=}1\times \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -2\end{array}\right|=0\times (-2)-1\times (-1)=1.$$

$$\boxed{\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 3& 6& 12\\ 5& 5& 5\end{array}\right|=30}$$

⚠️ La confusion à ne pas faire. « Linéaire par rapport à chaque ligne » n'est pas « linéaire ». Le facteur sort une fois par ligne : pour une matrice $n\times n$, $$\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A,\text{et non }\lambda \det A.$$ Ici les trois facteurs sont différents ($2$, $3$, $5$) et se multiplient — mais si l'on avait factorisé $2$ dans chacune des trois lignes, il serait sorti $2^3=8$, pas $2$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est encore plus visible sur l'exercice 10 ($\det (2A)=2^3\det A$).

Contrôle par un calcul indépendant (règle de Sarrus, développement selon $L_1$) : $$2(6\cdot 5-12\cdot 5)-4(3\cdot 5-12\cdot 5)+6(3\cdot 5-6\cdot 5)=2(-30)-4(-45)+6(-15)=-60+180-90=30✓$$

Ce que l'exercice installe. Devant un déterminant, on factorise d'abord, on calcule ensuite. Sortir les facteurs communs des lignes et des colonnes réduit souvent le calcul à une matrice d'entiers petits, où les transvections font le reste. C'est la première des trois manœuvres du chapitre — les deux autres étant l'échelonnement et le développement par cofacteurs.