Conjuguer un cycle

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'un cycle : $c$ envoie $a_1$ sur $a_2$, $a_2$ sur $a_3$, …, $a_p$ sur $a_1$, et fixe tout élément hors de son support $\{a_1,\dots ,a_p\}$. La signature est un morphisme de groupes de ${\mathcal{S}}_n$ dans $\{-1,1\}$. Rien d'autre.

a) Le conjugué d'un cycle. Notons $c^{\prime }=\sigma c{\sigma }^{-1}$. Pour montrer que $c^{\prime }$ est le cycle annoncé, il suffit de calculer $c^{\prime }$ en chaque point de $\{1,\dots ,n\}$, en distinguant deux cas.

Premier cas : un élément de la forme $\sigma (a_k)$. Comme ${\sigma }^{-1}(\sigma (a_k))=a_k$, on a $$c^{\prime }(\sigma (a_k))=\sigma (c({\sigma }^{-1}(\sigma (a_k))))=\sigma (c(a_k))=\sigma (a_{k+1}),$$ avec la convention $a_{p+1}=a_1$. Donc $c^{\prime }$ envoie $\sigma (a_1)$ sur $\sigma (a_2)$, $\sigma (a_2)$ sur $\sigma (a_3)$, …, $\sigma (a_p)$ sur $\sigma (a_1)$ : c'est exactement l'action du cycle $(\sigma (a_1)\dots \sigma (a_p))$ sur son support. Ce support est bien de cardinal $p$, car $\sigma$ est injective et les $a_k$ sont distincts.

Second cas : un élément $y$ qui n'est pas de la forme $\sigma (a_k)$. Alors ${\sigma }^{-1}(y)$ n'est aucun des $a_k$ (sinon $y=\sigma (a_k)$), donc $c$ fixe ${\sigma }^{-1}(y)$, et $$c^{\prime }(y)=\sigma (c({\sigma }^{-1}(y)))=\sigma ({\sigma }^{-1}(y))=y.$$ Donc $c^{\prime }$ fixe tout élément hors de $\{\sigma (a_1),\dots ,\sigma (a_p)\}$.

Les deux cas réunis disent que $c^{\prime }$ agit exactement comme le cycle $(\sigma (a_1)\sigma (a_2)\dots \sigma (a_p))$ : c'est ce cycle.

Lecture. Conjuguer par $\sigma$, c'est renommer les éléments : chaque $a_k$ devient $\sigma (a_k)$, et le cycle, lui, garde sa forme. C'est la même idée qu'au chapitre précédent : deux matrices semblables sont la même application linéaire écrite dans deux bases, et deux permutations conjuguées sont la même permutation écrite avec deux numérotations.

b) Conséquences.

Deux cycles de même longueur sont conjugués. Soient $c=(a_1\dots a_p)$ et $d=(b_1\dots b_p)$. Les ensembles $\{a_1,\dots ,a_p\}$ et $\{b_1,\dots ,b_p\}$ ont tous deux $p$ éléments, donc leurs complémentaires dans $\{1,\dots ,n\}$ ont tous deux $n-p$ éléments. On définit $\sigma$ par $\sigma (a_k)=b_k$ pour $1\le k\le p$, et sur le complémentaire de $\{a_1,\dots ,a_p\}$ par n'importe quelle bijection sur le complémentaire de $\{b_1,\dots ,b_p\}$ (il en existe, les deux ensembles ayant même cardinal). Ainsi $\sigma$ est une bijection de $\{1,\dots ,n\}$, et le a) donne $\sigma c{\sigma }^{-1}=(b_1\dots b_p)=d$.

La signature est invariante par conjugaison. La signature est un morphisme à valeurs dans le groupe $\{-1,1\}$, qui est commutatif : $$\epsilon (\sigma \tau {\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma )\epsilon (\tau )\epsilon ({\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma )\epsilon (\sigma {)}^{-1}\epsilon (\tau )=\epsilon (\tau ).$$ On a utilisé $\epsilon ({\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma {)}^{-1}$, propriété de tout morphisme de groupes. Ainsi, renommer ne change pas la parité — ce qui est cohérent avec le a), un cycle de longueur $p$ étant toujours de signature $(-1{)}^{p-1}$.

La transposition $(ij)$. Une transposition est un cycle de longueur $2$. Si $\sigma$ est une permutation quelconque vérifiant $\sigma (1)=i$ et $\sigma (2)=j$, le a) donne $$\sigma (12){\sigma }^{-1}=(\sigma (1)\sigma (2))=(ij).$$ Toutes les transpositions sont donc conjuguées de $(12)$, et toutes ont la même signature, $-1$.

c) Une permutation qui commute avec toutes les transpositions. Soient $a\ne b$ dans $\{1,\dots ,n\}$. Par hypothèse $\sigma$ commute avec $(ab)$, c'est-à-dire $\sigma (ab)=(ab)\sigma$, ou encore $\sigma (ab){\sigma }^{-1}=(ab)$. Or le a) dit que $\sigma (ab){\sigma }^{-1}=(\sigma (a)\sigma (b))$. Donc $$(\sigma (a)\sigma (b))=(ab).$$ Deux transpositions égales ont le même support : une transposition déplace exactement deux éléments, ceux de son support, et fixe les autres. D'où $\{\sigma (a),\sigma (b)\}=\{a,b\}$.

Conclusion pour $n\ge 3$. Fixons $a$. Comme $n\ge 3$, on peut choisir $b$ et $c$ distincts, tous deux différents de $a$. Le résultat précédent, appliqué aux couples $(a,b)$ et $(a,c)$, donne $\sigma (a)\in \{a,b\}$ et $\sigma (a)\in \{a,c\}$. Or $\{a,b\}\cap \{a,c\}=\{a\}$ puisque $b\ne c$. Donc $\sigma (a)=a$. Ceci vaut pour tout $a$ : $\sigma =\mathrm{id}$.

Comme les transpositions engendrent ${\mathcal{S}}_n$ (cours), commuter avec toutes les transpositions équivaut à commuter avec toutes les permutations : on vient de montrer que la seule permutation qui commute avec tout le monde est l'identité, dès que $n\ge 3$. On dit que le centre de ${\mathcal{S}}_n$ est trivial.

Le cas $n=2$. ${\mathcal{S}}_2=\{\mathrm{id},(12)\}$ est un groupe à deux éléments, donc commutatif : $(12)$ commute avec l'unique transposition sans être l'identité. Le raisonnement échoue précisément là où il fallait un troisième élément $c$ : l'égalité $\{\sigma (1),\sigma (2)\}=\{1,2\}$ est vraie pour $\sigma =(12)$ et ne contraint rien.

Ce que l'exercice installe. La conjugaison est un changement de nom, pas un changement d'objet : elle conserve la forme d'un cycle, la décomposition en cycles à supports disjoints (longueurs comprises) et la signature. Pour décider si deux permutations sont conjuguées, on compare leurs types de cycles — comme on comparera, en deuxième année, les invariants de similitude de deux matrices. Et la recette « calculer $\sigma c{\sigma }^{-1}$ point par point, en séparant le support du reste » est celle de tout calcul dans ${\mathcal{S}}_n$.