Le groupe alterné

La stratégie. Un noyau de morphisme est un sous-groupe gratuitement : il n'y a aucun axiome à vérifier à la main. Et pour compter, on ne dénombre pas, on apparie : une bijection entre les paires et les impaires montre qu'elles sont aussi nombreuses.

a) Un noyau. La signature $\epsilon :{\mathcal{S}}_n\to \{-1,1\}$ est un morphisme de groupes (cours), le groupe d'arrivée étant muni de la multiplication, de neutre $1$. Par définition, $${\mathcal{A}}_n=\{\sigma \in {\mathcal{S}}_n\mid \epsilon (\sigma )=1\}=\mathrm{Ker}\epsilon .$$ Le noyau d'un morphisme de groupes est un sous-groupe du groupe de départ (chapitre sur les structures). Redisons-le ici pour être complet : $\epsilon (\mathrm{id})=1$, donc $\mathrm{id}\in {\mathcal{A}}_n$ ; si $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in {\mathcal{A}}_n$, alors $\epsilon (\sigma {\sigma }^{\prime })=\epsilon (\sigma )\epsilon ({\sigma }^{\prime })=1$, donc $\sigma {\sigma }^{\prime }\in {\mathcal{A}}_n$ ; et $\epsilon ({\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma {)}^{-1}=1$, donc ${\sigma }^{-1}\in {\mathcal{A}}_n$. ${\mathcal{A}}_n$ est un sous-groupe, appelé groupe alterné.

b) La bijection. Rappelons que ${\tau }_0$ est une transposition, donc $\epsilon ({\tau }_0)=-1$ et ${\tau }_0^2=\mathrm{id}$, soit ${\tau }_0^{-1}={\tau }_0$.

$\Phi$ est bien à valeurs dans les impaires. Pour $\sigma \in {\mathcal{A}}_n$, $\epsilon ({\tau }_0\sigma )=\epsilon ({\tau }_0)\epsilon (\sigma )=(-1)\times 1=-1$ : ${\tau }_0\sigma$ est impaire.

Injectivité. Si ${\tau }_0\sigma ={\tau }_0{\sigma }^{\prime }$, on compose à gauche par ${\tau }_0^{-1}={\tau }_0$ : $\sigma ={\sigma }^{\prime }$.

Surjectivité. Soit $\pi$ impaire. Posons $\sigma ={\tau }_0\pi$ : alors $\epsilon (\sigma )=(-1)(-1)=1$, donc $\sigma \in {\mathcal{A}}_n$, et $\Phi (\sigma )={\tau }_0{\tau }_0\pi =\pi$.

Donc $\Phi$ est une bijection de ${\mathcal{A}}_n$ sur ${\mathcal{S}}_n\setminus {\mathcal{A}}_n$ : il y a exactement autant de permutations paires que d'impaires. Comme les deux ensembles forment une partition de ${\mathcal{S}}_n$, qui a $n!$ éléments, $$|{\mathcal{A}}_n|=\frac{n!}{2}(n\ge 2).$$

Le point délicat. La bijection a besoin d'un objet impair, ${\tau }_0$, pour exister ; c'est tout ce qu'elle demande, mais elle le demande vraiment.

c) Le cas $n=1$, puis les petits groupes alternés. Pour $n=1$, ${\mathcal{S}}_1=\{\mathrm{id}\}$ ne contient aucune transposition : il n'y a pas de ${\tau }_0$, la bijection n'existe pas, et de fait ${\mathcal{A}}_1={\mathcal{S}}_1$ a $1$ élément, alors que $\frac{1!}{2}=\frac{1}{2}$ n'est même pas un entier. La formule est fausse pour $n=1$, et l'hypothèse $n\ge 2$ n'était pas décorative.

${\mathcal{A}}_3$. Les six éléments de ${\mathcal{S}}_3$ sont l'identité, les trois transpositions $(12)$, $(13)$, $(23)$, et les deux $3$-cycles $(123)$ et $(132)$. Un $3$-cycle a pour signature $(-1{)}^{3-1}=1$. Donc ${\mathcal{A}}_3=\{\mathrm{id},(123),(132)\}$, de cardinal $3=\frac{3!}{2}$.

${\mathcal{A}}_4$. On classe les $24$ éléments de ${\mathcal{S}}_4$ par type de décomposition en cycles à supports disjoints :

• l'identité : $1$ élément, paire ;
• les transpositions $(ab)$ : $6$ éléments (autant que de paires $\{a,b\}$), impaires ;
• les $3$-cycles $(abc)$ : on choisit le point fixe ($4$ façons), puis l'un des deux ordres cycliques sur les trois autres : $8$ éléments, pairs ;
• les $4$-cycles : $3!=6$ éléments (on fixe $1$ en tête et l'on ordonne les trois autres), de signature $(-1{)}^3=-1$, impairs ;
• les doubles transpositions $(ab)(cd)$ à supports disjoints : $3$ éléments, de signature $(-1)(-1)=1$, pairs.

Total : $1+6+8+6+3=24$. Les paires sont l'identité, les huit $3$-cycles et les trois doubles transpositions : $1+8+3=12=\frac{4!}{2}$. Les impaires, transpositions et $4$-cycles, sont $6+6=12$ également. Le compte est bon.

Ce que l'exercice installe. ${\mathcal{A}}_n$ est un sous-groupe d'indice $2$ : la parité coupe ${\mathcal{S}}_n$ en deux moitiés exactement égales. C'est cette dichotomie que la formule du déterminant enregistre, $\det A={\sum }_{\sigma }\epsilon (\sigma )a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (n),n}$ : la moitié des $n!$ termes est comptée positivement, l'autre négativement. Et la méthode — reconnaître un noyau, compter par une bijection de translation — est celle qui, en général, montre que le noyau d'un morphisme surjectif sur un groupe à $k$ éléments est d'indice $k$.