Le groupe alterné

La stratégie. Un noyau de morphisme est un sous-groupe gratuitement : il n'y a aucun axiome à vérifier à la main. Et pour compter, on ne dénombre pas, on apparie : une bijection entre les paires et les impaires montre qu'elles sont aussi nombreuses.

a) Un noyau. La signature $\epsilon :{\mathcal{S}}_n\to \{-1,1\}$ est un morphisme de groupes (cours), le groupe d'arrivée étant muni de la multiplication, de neutre $1$. Par définition, $${\mathcal{A}}_n=\{\sigma \in {\mathcal{S}}_n\mid \epsilon (\sigma )=1\}=\mathrm{Ker}\epsilon .$$ Le noyau d'un morphisme de groupes est un sous-groupe du groupe de départ (chapitre sur les structures). Redisons-le ici pour être complet : $\epsilon (\mathrm{id})=1$, donc $\mathrm{id}\in {\mathcal{A}}_n$ ; si $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in {\mathcal{A}}_n$, alors $\epsilon (\sigma {\sigma }^{\prime })=\epsilon (\sigma )\epsilon ({\sigma }^{\prime })=1$, donc $\sigma {\sigma }^{\prime }\in {\mathcal{A}}_n$ ; et $\epsilon ({\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma {)}^{-1}=1$, donc ${\sigma }^{-1}\in {\mathcal{A}}_n$. ${\mathcal{A}}_n$ est un sous-groupe, appelé groupe alterné.