Calculer la signature du « renversement » σ : k ↦ n + 1 - k de Sₙ.

Stratégie : décomposer en transpositions à supports disjoints, puis utiliser que la signature est un morphisme. $\epsilon (\sigma \tau )=\epsilon (\sigma )\epsilon (\tau )$ et $\epsilon (\text{transposition})=-1$ : il suffit donc de compter les transpositions.

a) La décomposition. $\sigma$ échange $k$ et $n+1-k$ : elle apparie le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier, et ainsi de suite. Un élément $k$ est fixe si et seulement si $k=n+1-k$, c'est-à-dire $n$ impair et $k=\frac{n+1}{2}$ — l'élément du milieu. D'où $$\sigma =\prod _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(kn+1-k),$$ produit de $\lfloor n/2\rfloor$ transpositions à supports deux à deux disjoints (elles commutent, l'ordre du produit est sans importance).

$$\boxed{\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{\lfloor n/2\rfloor }}$$

⚠️ Le point où l'on se trompe d'une unité. Quand $n$ est impair, l'élément central est fixe : ce n'est pas une transposition, et l'écrire $\lceil n/2\rceil$ transpositions donnerait une signature fausse une fois sur deux. La partie entière est par défaut, et c'est le milieu qui l'impose.

b) Deuxième méthode, en comptant les inversions. Une inversion de $\sigma$ est un couple $i<j$ avec $\sigma (i)>\sigma (j)$, et $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{I(\sigma )}$. Ici $\sigma$ renverse complètement l'ordre : pour tout couple $i<j$ on a $n+1-i>n+1-j$, donc tout couple est une inversion : $$I(\sigma )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2},\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{n(n-1)/2}.$$ Les deux formules coïncident : $\frac{n(n-1)}{2}$ et $\lfloor n/2\rfloor$ ont même parité (toutes deux paires si $n\equiv 0$ ou $1(\mathrm{mod}4)$, impaires si $n\equiv 2$ ou $3$).

Contrôle.

$n$	$\sigma$	$\lfloor n/2\rfloor$	$\frac{n(n-1)}{2}$	$\epsilon (\sigma )$
$2$	$(12)$	$1$	$1$	$-1$
$3$	$(13)$, $2$ fixe	$1$	$3$	$-1$
$4$	$(14)(23)$	$2$	$6$	$+1$
$5$	$(15)(24)$, $3$ fixe	$2$	$10$	$+1$
$6$	$(16)(25)(34)$	$3$	$15$	$-1$

Les deux colonnes de droite donnent toujours le même signe ✓ (vérifié jusqu'à $n=12$).

Ce que l'exercice installe. Le renversement est la permutation qui a le plus d'inversions possible — d'où son rôle de pire cas pour les algorithmes de tri. Et sa signature est exactement le facteur qui apparaît quand on renverse l'ordre des $n$ colonnes d'un déterminant : cette opération le multiplie par $(-1{)}^{\lfloor n/2\rfloor }$, ce qui, dès $n=4$, ne change rien du tout — un piège classique de calcul.