Les matrices antisymétriques et la parité de la dimension

La stratégie. Aucun calcul dans le a) : trois propriétés du cours, enchaînées, aboutissent à une égalité de la forme $x=-x$, dont on tire $x=0$. La parité de $n$ intervient une seule fois, à un endroit précis, et l'on vérifiera au b) que sans elle l'énoncé est faux.

a) La chaîne d'égalités. Soit $A$ antisymétrique de taille $n$ impaire. Alors $$\det A=\det \left(A^{\top }\right)=\det (-A)=(-1{)}^n\det A=-\det A.$$ Justifions chaque égalité. La première : le déterminant d'une matrice est celui de sa transposée (cours). La deuxième : c'est l'hypothèse $A^{\top }=-A$. La troisième : $-A$ s'obtient en multipliant chacune des $n$ colonnes de $A$ par $-1$ ; par $n$-linéarité, le facteur $-1$ sort $n$ fois, d'où $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$ — c'est le cas $\lambda =-1$ de $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A$. La dernière : $n$ est impair, donc $(-1{)}^n=-1$.

On obtient $\det A=-\det A$, soit $2\det A=0$, et comme $2\ne 0$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, $\det A=0$. Une matrice antisymétrique de taille impaire n'est pas inversible.

b) Où la parité était indispensable. Pour $n=2$, la matrice antisymétrique générale est $\left(\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right)$ (la diagonale est nulle, car $a_{i,i}=-a_{i,i}$), de déterminant $0\cdot 0-a\cdot (-a)=a^2$. Il est positif ou nul, et non nul dès que $a\ne 0$ : en taille $2$, une matrice antisymétrique non nulle est inversible. Pour $n=4$, la matrice diagonale par blocs $$B=\left(\begin{array}{cccc}0& a& 0& 0\\ -a& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& b\\ 0& 0& -b& 0\end{array}\right)$$ est antisymétrique, et son déterminant, calculé en développant deux fois selon la première ligne, vaut $a^2{b}^2$, non nul si $a$ et $b$ le sont. En taille paire, la chaîne du a) donne seulement $\det A=\det A$ : elle ne dit rien, et de fait la conclusion est fausse.

c) Le cas $n=3$ en détail. Développons $\det A$ selon la première ligne : $$\det A=0\cdot (\cdots )-a\det \left(\begin{array}{cc}-a& c\\ -b& 0\end{array}\right)+b\det \left(\begin{array}{cc}-a& 0\\ -b& -c\end{array}\right)=-a(0+bc)+b(ac-0)=-abc+abc=0,$$ quels que soient $a,b,c$ : conforme au a).

Un vecteur du noyau. Cherchons $X=(x,y,z{)}^{\top }$ tel que $AX=0$, c'est-à-dire $ay+bz=0$, $-ax+cz=0$, $-bx-cy=0$. Le vecteur $X_0=(c,-b,a{)}^{\top }$ convient : $$a(-b)+ba=0,-ac+ca=0,-bc-c(-b)=0.$$ Il est non nul dès que $A\ne 0$. (On le retrouve par la formule de l'exercice sur la comatrice : $A\mathrm{Com}(A{)}^{\top }=\det (A)I_3=0$, donc les colonnes de $\mathrm{Com}(A{)}^{\top }$ sont dans le noyau de $A$ — et la première vaut précisément $(c^2,-bc,ac{)}^{\top }=c{X}_0$.)

Ce que l'exercice installe. Deux propriétés du cours, $\det A^{\top }=\det A$ et $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A$, suffisent à démontrer un fait qui n'a l'air de rien et qui contient de la géométrie : en dimension impaire, un endomorphisme antisymétrique a toujours un noyau non nul. En dimension $3$, la matrice $A$ est celle de $x\mapsto \omega \wedge x$ pour $\omega =(c,-b,a)$, et le vecteur du noyau est $\omega$ lui-même. C'est de là que viendra, en deuxième année, l'existence d'un axe pour toute rotation de l'espace. Et l'exercice apprend à lire une hypothèse de parité : elle sert une fois, à un endroit qu'on doit savoir montrer du doigt.