Développement selon une ligne ou une colonne. Calculer…

Stratégie : développer selon la rangée la plus creuse. Le développement selon la ligne $i$ s'écrit $\det A={\sum }_j{a}_{i,j}{\Delta }_{i,j}$ avec ${\Delta }_{i,j}=(-1{)}^{i+j}\det \left(A_{i,j}\right)$ : chaque zéro supprime un mineur entier. Le travail est donc proportionnel au nombre de coefficients non nuls de la rangée choisie — et non à sa taille.

a) Selon $L_3=(0,0,4,0)$ : un seul terme. Le seul coefficient non nul est $a_{3,3}=4$, de signe $(-1{)}^{3+3}=+1$. On barre la ligne $3$ et la colonne $3$ : $$\det A=4\times \left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 3& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|.$$ Ce mineur se développe à son tour selon sa première ligne, qui n'a qu'un coefficient non nul : $$\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 3& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=2\times \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=2(1-4)=-6.$$

$$\boxed{\det A=4\times (-6)=-24}$$

Coût total : un déterminant $3\times 3$, lui-même ramené à un déterminant $2\times 2$.

b) Selon $L_1=(2,0,1,0)$ : deux termes. $$\det A=2(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right|+1(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right|.$$ Le premier mineur, développé selon sa ligne médiane $(0,4,0)$, vaut $4(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=4(1-4)=-12$. Le second a une ligne entière de zéros : il est nul. $$\det A=2(-12)+1(0)=-24✓$$ Coût : deux déterminants $3\times 3$ — dont un s'effondre par chance. Sans cette chance, on aurait fait le double du travail de a).

⚠️ Le signe, et rien que le signe. Le facteur $(-1{)}^{i+j}$ est celui du damier, indépendant du signe du coefficient et de la rangée choisie. Ici $a_{1,3}$ porte $(-1{)}^{1+3}=+1$, alors que $a_{1,2}$ aurait porté $-1$ : une case d'écart, et le déterminant change de valeur. Second piège, plus sournois : le mineur $A_{i,j}$ s'obtient en supprimant la ligne $i$ ET la colonne $j$ — supprimer la ligne et garder la colonne (ou l'inverse) produit une matrice de la bonne taille, donc une erreur silencieuse.

Contrôle par une troisième rangée. Développons selon $C_2=(0,1,0,2{)}^{\top }$ : $$\det A=1(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 4& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|+2(-1{)}^{4+2}\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 3& 0& 2\\ 0& 4& 0\end{array}\right|=1\times 8+2\times (-16)=-24✓$$ Trois chemins, une seule valeur : $-24$.

Ce que l'exercice installe. Développer aveuglément coûte $n!$ opérations — impraticable dès $n=10$ — alors que l'échelonnement de Gauss en coûte $\sim \frac{n^3}{3}$. On ne développe donc jamais sans avoir d'abord fabriqué des zéros par transvections : c'est la combinaison des deux qui rend le calcul humain. Et c'est ce même développement, écrit pour toutes les lignes à la fois, qui donne la comatrice et la formule $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{Com}(A{)}^{\top }$.