Un déterminant tridiagonal et une récurrence linéaire

La stratégie. Deux développements successifs ramènent un déterminant d'ordre $n$ à ceux d'ordre $n-1$ et $n-2$ : le déterminant devient une suite récurrente linéaire d'ordre $2$, qu'on sait résoudre depuis le chapitre sur les suites. Les racines complexes de l'équation caractéristique feront apparaître des cosinus.

a) Les premières valeurs. $D_1(x)=x$. Puis $D_2(x)=x\cdot x-1\cdot 1=x^2-1$. Enfin, en développant selon la première ligne, $$D_3(x)=\det \left(\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ 1& x& 1\\ 0& 1& x\end{array}\right)=x(x^2-1)-1(1\cdot x-1\cdot 0)=x^3-2x.$$

b) La récurrence. Soit $n\ge 2$. La première ligne de la matrice est $(x,1,0,\dots ,0)$. Développons selon elle : $$D_n(x)=x\det A_{1,1}-1\cdot \det A_{1,2},$$ où $A_{1,1}$ est la matrice privée de sa première ligne et de sa première colonne — c'est la matrice tridiagonale d'ordre $n-1$, de déterminant $D_{n-1}(x)$ — et $A_{1,2}$ est la matrice privée de sa première ligne et de sa deuxième colonne. Regardons $A_{1,2}$ : sa première ligne est la deuxième ligne de la matrice initiale, $(1,x,1,0,\dots ,0)$, privée de son deuxième coefficient, soit $(1,1,0,\dots ,0)$ ; et sa première colonne est $(1,0,\dots ,0{)}^{\top }$, car dans la première colonne de la matrice initiale, seuls les coefficients des lignes $1$ et $2$ sont non nuls, et la ligne $1$ a été supprimée. Développons $A_{1,2}$ selon sa première colonne : un seul terme, $1\cdot (-1{)}^{1+1}$ fois le déterminant de la matrice obtenue en supprimant encore la première ligne et la première colonne, qui est la matrice tridiagonale d'ordre $n-2$ (pour $n=2$, c'est la matrice vide, de déterminant $D_0=1$). Donc $\det A_{1,2}=D_{n-2}(x)$, et $$D_n(x)=x{D}_{n-1}(x)-D_{n-2}(x).$$ Contrôle : $D_2=x\cdot D_1-D_0=x^2-1$ et $D_3=x{D}_2-D_1=x^3-x-x=x^3-2x$, conformes au a).

c) Résolution pour $x=2\cos \theta$. La suite $(D_n{)}_{n\ge 0}$ vérifie $D_n-2\cos \theta D_{n-1}+D_{n-2}=0$, récurrence linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants, d'équation caractéristique $$r^2-2\cos \theta r+1=0,\text{de discriminant }4{\cos }^2\theta -4=-4{\sin }^2\theta <0$$ puisque $\theta \in ]0,\pi [$. Les racines sont $r=\cos \theta \pm i\sin \theta =e^{\pm i\theta }$, distinctes. D'après le cours sur les suites, il existe deux réels $A,B$ tels que, pour tout $n$, $$D_n=A\cos (n\theta )+B\sin (n\theta ).$$ Les conditions initiales fixent $A$ et $B$ : $D_0=1$ donne $A=1$ ; $D_1=2\cos \theta$ donne $\cos \theta +B\sin \theta =2\cos \theta$, soit $B=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$ (licite car $\sin \theta \ne 0$). Donc $$D_n=\cos (n\theta )+\frac{\cos \theta \sin (n\theta )}{\sin \theta }=\frac{\sin \theta \cos (n\theta )+\cos \theta \sin (n\theta )}{\sin \theta }=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta },$$ par la formule d'addition du sinus. Contrôle : pour $n=1$, $\frac{\sin 2\theta }{\sin \theta }=2\cos \theta =x$ ; pour $n=2$, $\frac{\sin 3\theta }{\sin \theta }=3-4{\sin }^2\theta =4{\cos }^2\theta -1=x^2-1$.

d) Le polynôme et ses racines. Par récurrence sur $n$, $D_n$ est une fonction polynomiale de $x$, unitaire de degré $n$ : c'est vrai pour $D_0=1$ et $D_1=x$, et si $D_{n-1}$ est unitaire de degré $n-1$ et $D_{n-2}$ de degré $n-2$, alors $x{D}_{n-1}-D_{n-2}$ est unitaire de degré $n$.

Cherchons ses racines dans $]-2,2[$, en écrivant $x=2\cos \theta$ avec $\theta \in ]0,\pi [$ — ce qui décrit tout $]-2,2[$ une fois et une seule, le cosinus étant une bijection décroissante de $]0,\pi [$ sur $]-1,1[$. D'après le c), $D_n(2\cos \theta )=0$ si et seulement si $\sin ((n+1)\theta )=0$, c'est-à-dire $(n+1)\theta =k\pi$ avec $k$ entier. Comme $0<\theta <\pi$, on a $0<k<n+1$ : les valeurs possibles sont ${\theta }_k=\frac{k\pi }{n+1}$ pour $k=1,\dots ,n$. Les réels $$x_k=2\cos \frac{k\pi }{n+1},1\le k\le n,$$ sont deux à deux distincts (le cosinus est injectif sur $]0,\pi [$) et sont des racines de $D_n$. Un polynôme de degré $n$ ayant $n$ racines distinctes, ce sont toutes ses racines, et $$D_n(x)=\prod _{k=1}^n\left(x-2\cos \frac{k\pi }{n+1}\right).$$ Contrôle : pour $n=2$, $2\cos \frac{\pi }{3}=1$ et $2\cos \frac{2\pi }{3}=-1$, et $D_2=(x-1)(x+1)=x^2-1$. Pour $n=3$, les racines sont $2\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$, $2\cos \frac{\pi }{2}=0$ et $2\cos \frac{3\pi }{4}=-\sqrt{2}$, et $D_3=x(x^2-2)=x^3-2x$.

e) Inversibilité. La matrice est inversible si et seulement si $D_n(x)\ne 0$. Elle n'est pas inversible exactement pour les $n$ valeurs $x=2\cos \frac{k\pi }{n+1}$, $1\le k\le n$, toutes situées dans $]-2,2[$. En particulier, pour $|x|\ge 2$, la matrice est toujours inversible. (Ces $n$ réels sont, en langage de deuxième année, les valeurs propres de la matrice tridiagonale à diagonale nulle changées de signe ; ici on n'a parlé que d'inversibilité, et cela a suffi.)

Le point délicat. Le second développement : il faut voir que la matrice $A_{1,2}$ a une première colonne presque vide, et que ce qui reste après un second développement est de nouveau une matrice de la même famille, d'ordre $n-2$. C'est cette stabilité de la famille qui autorise la récurrence ; sans elle, on aurait des mineurs sans nom et rien ne se refermerait.

Ce que l'exercice installe. Un déterminant « structuré » — bande, bordé, à motif répété — se calcule rarement de front : on cherche une relation de récurrence par développement, et l'on résout. Ici la récurrence est d'ordre $2$, ses racines caractéristiques sont sur le cercle unité, et la formule $\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }$ rassemble deux chapitres d'analyse — suites récurrentes et trigonométrie — au service d'un chapitre d'algèbre. Les polynômes obtenus sont ceux de Tchebychev de seconde espèce, et les $2\cos \frac{k\pi }{n+1}$ reviendront comme fréquences propres d'une chaîne de $n$ ressorts.