Exercices corrigés — Espaces vectoriels et applications linéaires (mathématiques MPSI)

27 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Espaces et sous-espaces vectoriels

• Un espace vectoriel n'est jamais réunion finie de sous-espaces stricts Exercice de TD
• Fonctions paires et impaires : supplémentaires sans dimension Exercice de TD
• Sous-espace ou pas ? Application directe du cours
• Supplémentaires et décomposition Application directe du cours

B. Familles libres, génératrices, bases

• La famille des exponentielles est libre Exercice de TD
• Montrer que (cos , sin ) est libre dans F(ℝ, ℝ), que (1, cos ², sin ²)… Application directe du cours
• Soit n ≥ 3 et (e₁, …, eₙ) une base de E. La famille (e₁ + e₂, e₂ + e₃… Application directe du cours
• Libre ou liée ? Application directe du cours
• Base de polynômes échelonnée Application directe du cours

C. Dimension

• Deux sous-espaces de même dimension ont un supplémentaire commun Exercice de TD
• Soient F et G deux plans (vectoriels) distincts de ℝ³. Montrer, par la… Application directe du cours
• Montrer que l'espace des suites vérifiant uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ est de… Application directe du cours

D. Applications linéaires, noyaux et images

• Les inégalités du rang Exercice de TD
• $\mathrm{Ker}u=\mathrm{Ker}{u}^2⟺\mathrm{Im}u=\mathrm{Im}{u}^2⟺E=\mathrm{Ker}u\oplus \mathrm{Im}u$ Exercice de TD
• Soit u ∈ L(E). Montrer que u² = 0 si et seulement si Im u ⊂ Ker u. Exercice classique
• Problème — Noyaux itérés et décomposition de Fitting Exercice de TD
• Bijectivité par le théorème du rang Application directe du cours
• Linéaire ou pas ? Application directe du cours
• Noyau, image, théorème du rang Application directe du cours

E. Projecteurs et symétries

• $p+q$ est un projecteur si et seulement si $pq=qp=0$ Exercice de TD
• Dans ℝ³, déterminer l'expression du projecteur sur le plan {z = 0}… Application directe du cours
• Un projecteur explicite Application directe du cours

F. Rang, formes linéaires et hyperplans

• Toute forme linéaire sur ${\mathbb{R}}_n[X]$ est une combinaison d'évaluations ; trapèzes et Simpson Exercice de TD
• Les deux représentations d'un sous-espace Application directe du cours
• Soient φ et ψ deux formes linéaires non nulles sur E ayant le même… Application directe du cours

G. Géométrie affine et problèmes linéaires

• Les polynômes qui valent $1$ en $0$ et $2$ en $1$ Exercice de TD
• Lecture affine des problèmes linéaires Application directe du cours

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