Fonctions paires et impaires : supplémentaires sans dimension

La stratégie. En dimension infinie, aucune formule de dimension : on démontre d'un coup l'existence et l'unicité de la décomposition, ce qui est la définition même de la somme directe, par analyse-synthèse.

1) Ce sont des sous-espaces. $\mathcal{P}=\{f:\forall x,f(-x)=f(x)\}$ contient la fonction nulle ; si $f,g\in \mathcal{P}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $(f+\lambda g)(-x)=f(-x)+\lambda g(-x)=f(x)+\lambda g(x)=(f+\lambda g)(x)$ : stabilité par combinaison linéaire. Même vérification pour $\mathcal{I}$ avec le signe moins.

2) Analyse. Soit $f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, et supposons $f=g+h$ avec $g\in \mathcal{P}$, $h\in \mathcal{I}$. Évaluons en $x$ puis en $-x$ : $$f(x)=g(x)+h(x),f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x).$$ La seconde ligne est le cœur : la parité de $g$ et l'imparité de $h$ transforment l'évaluation en $-x$ en une seconde équation aux mêmes inconnues $g(x)$ et $h(x)$. Somme et différence : $$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$ Le couple $(g,h)$ est entièrement déterminé par $f$ : il y a au plus une décomposition.

3) Synthèse. Définissons $g$ et $h$ par ces formules. Alors $g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x)$, donc $g\in \mathcal{P}$ ; $h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x)$, donc $h\in \mathcal{I}$ ; et $g+h=f$ par construction. La décomposition existe. Donc $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\mathcal{P}\oplus \mathcal{I}$.

Le point délicat. La synthèse n'est pas une formalité : l'analyse dit « s'il y a une décomposition, c'est celle-là », elle ne dit pas que ce $g$ est pair. Et la division par $2$ est licite parce que $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ : c'est la seconde fois dans la séance que le corps compte.

Contrôle avec $f=\exp$. Les formules donnent $g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\mathrm{ch}x$ (cosinus hyperbolique) et $h(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\mathrm{sh}x$ (sinus hyperbolique) : on retrouve $e^x=\mathrm{ch}x+\mathrm{sh}x$, la décomposition de l'exponentielle en sa partie paire, le cosinus hyperbolique, et sa partie impaire, le sinus hyperbolique. En $x=2$ : $3,762196+3,626860=7,389056=e^2$.

Ce que l'exercice installe. C'est le mécanisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n\oplus {\mathcal{A}}_n$ au chapitre 9, avec $M=\frac{M+M^{\top }}{2}+\frac{M-M^{\top }}{2}$ : chaque fois qu'une involution agit ($f\mapsto \check{f}$ avec $\check{f}(x)=f(-x)$, ou $M\mapsto M^{\top }$), ses deux parties découpent l'espace en somme directe. Et la méthode — analyse-synthèse — est la seule disponible quand la dimension ne dit rien.