mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Application directe du cours

Linéaire ou pas ?

Espaces vectoriels et applications linéaires · D. Applications linéaires, noyaux et images · niveau 1 (application)

Énoncé

Les applications suivantes sont-elles linéaires ? $u (x, y) = (x + y, x - y), v (x, y) = (x + 1, y), φ (P) = P^{'} + P (0), w (x, y) = x y .$

Corrigé

$u$ : oui — chaque composante est combinaison linéaire des coordonnées.

$v$ : non — $v (0, 0) = (1, 0) \neq = (0, 0)$ : une application linéaire envoie $0$ sur $0$ . ( $v$ est affine.)

$φ$ : oui — somme d'applications linéaires.

$w$ : non — $w (2 (1, 1)) = 4 \neq = 2 w (1, 1)$ : le produit est bilinéaire, pas linéaire.

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