Deux sous-espaces de même dimension ont un supplémentaire commun

La stratégie. On grossit $F$ et $G$ d'un même vecteur pris hors des deux (exercice 1), ce qui rapproche de $E$ ; on recommence jusqu'à atteindre $E$ ; puis on redescend en recollant les vecteurs ajoutés. C'est une récurrence sur la codimension $n-p$.

1) Les cas immédiats. Si $p=n$ : un sous-espace de $E$ de même dimension que $E$ est $E$ (théorème du cours), donc $F=G=E$, et $S=\{0\}$ convient. Si $F=G$ : le cours dit que tout sous-espace admet un supplémentaire ; un supplémentaire de $F$ est un supplémentaire de $G$.

2) Le vecteur générique. Comme $p<n$, $F$ et $G$ sont des sous-espaces stricts de $E$ ; par l'exercice 1, $F\cup G\ne E$ : il existe $x\in E$ avec $x\notin F$ et $x\notin G$. La somme $F+\mathbb{K}x$ est directe : si $\lambda x\in F$ avec $\lambda \ne 0$, alors $x={\lambda }^{-1}(\lambda x)\in F$, exclu ; donc $F\cap \mathbb{K}x=\{0\}$. Ainsi $F^{\prime }=F\oplus \mathbb{K}x$, de dimension $\dim F+\dim \mathbb{K}x=p+1$ (la dimension d'une somme directe est la somme des dimensions, cas $\dim (F\cap \mathbb{K}x)=0$ de Grassmann). De même $G^{\prime }=G\oplus \mathbb{K}x$ est de dimension $p+1$.

3) La récurrence. Notons ${\mathcal{H}}_k$ la propriété : pour tout espace $E$ de dimension finie et tous sous-espaces $F,G$ de même dimension avec $\dim E-\dim F=k$, il existe un supplémentaire commun.

Initialisation. ${\mathcal{H}}_0$ est le cas $p=n$ du 1).

Hérédité. Supposons ${\mathcal{H}}_{k-1}$ vraie ($k\ge 1$), et soient $F,G$ de dimension $p=n-k<n$. Construisons $x$, $F^{\prime }$, $G^{\prime }$ comme au 2) : $\dim E-\dim F^{\prime }=n-(p+1)=k-1$, et $F^{\prime },G^{\prime }$ ont même dimension. Par ${\mathcal{H}}_{k-1}$, il existe $S^{\prime }$ avec $E=F^{\prime }\oplus S^{\prime }=G^{\prime }\oplus S^{\prime }$. Posons $S=\mathbb{K}x+S^{\prime }$.

$S$ est une somme directe. Si $\lambda x\in S^{\prime }$ avec $\lambda \ne 0$, alors $x\in S^{\prime }$ ; mais $x\in F^{\prime }$, et $F^{\prime }\cap S^{\prime }=\{0\}$, donc $x=0$ — exclu, car $x\notin F$ et $0\in F$. Donc $\mathbb{K}x\cap S^{\prime }=\{0\}$ et $S=\mathbb{K}x\oplus S^{\prime }$.

$E=F\oplus S$. D'abord $F+S=F+\mathbb{K}x+S^{\prime }=F^{\prime }+S^{\prime }=E$. Ensuite $F\cap S=\{0\}$ : soit $v\in F\cap S$, écrit $v=\lambda x+s^{\prime }$ avec $s^{\prime }\in S^{\prime }$. Alors $s^{\prime }=v-\lambda x$ appartient à $F^{\prime }$ (car $v\in F\subset F^{\prime }$ et $x\in F^{\prime }$), et à $S^{\prime }$ ; comme $F^{\prime }\cap S^{\prime }=\{0\}$, $s^{\prime }=0$. Il reste $v=\lambda x\in F$, ce qui force $\lambda =0$ puisque $x\notin F$ ; donc $v=0$. Ainsi $E=F\oplus S$.

$E=G\oplus S$. Le même raisonnement, mot pour mot, avec $G$ et $G^{\prime }$ à la place de $F$ et $F^{\prime }$ : $x$ a été choisi hors de $G$ aussi, et $S^{\prime }$ est supplémentaire de $G^{\prime }$. Donc $S$ est un supplémentaire commun : ${\mathcal{H}}_k$ est vraie.

Le point délicat. Tout tient à ce que $x$ est choisi hors des deux sous-espaces à la fois — c'est l'exercice 1 — et à ce que le même $x$ sert pour $F^{\prime }$ et $G^{\prime }$. Si l'on avait grossi $F$ et $G$ avec deux vecteurs différents, les supplémentaires obtenus n'auraient aucune raison de coïncider.

4) Deux hyperplans. $H$ et $H^{\prime }$ sont de dimension $n-1$ : par ce qui précède, ils ont un supplémentaire commun de dimension $1$, une droite $D=\mathbb{K}x$ avec $x\notin H\cup H^{\prime }$ — et réciproquement toute droite non contenue dans $H$ ni dans $H^{\prime }$ convient, par le théorème du cours « hyperplan plus droite non contenue égale tout l'espace ». Laquelle ? Comme $H\ne H^{\prime }$ et $\dim H=\dim H^{\prime }$, aucun ne contient l'autre : prenons $h\in H\setminus H^{\prime }$ et $h^{\prime }\in H^{\prime }\setminus H$. Alors $x=h+h^{\prime }$ n'est pas dans $H$ (sinon $h^{\prime }=x-h\in H$) ni dans $H^{\prime }$ (sinon $h=x-h^{\prime }\in H^{\prime }$). La droite $\mathrm{Vect}(h+h^{\prime })$ convient. Dans ${\mathbb{R}}^2$, pour les deux axes : la première bissectrice.

Ce que l'exercice installe. La récurrence sur la codimension, qui fait monter un sous-espace vers $E$ un vecteur à la fois, est le mécanisme du théorème de la base incomplète — ici appliqué à deux sous-espaces simultanément. Et une leçon : deux sous-espaces de même dimension sont « interchangeables » vus d'un supplémentaire commun.