mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Application directe du cours

Un projecteur explicite

Espaces vectoriels et applications linéaires · E. Projecteurs et symétries · niveau 2

Énoncé

Soit $p (x, y) = (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2})$ . Vérifier que $p$ est un projecteur et déterminer ses éléments géométriques.

Corrigé

$p$ est linéaire et $p^{2} = p$ : projecteur. $Im p = Vect ((1, 1))$ (la diagonale), $Ker p = Vect ((1, - 1))$ (l'antidiagonale) : projection sur la diagonale parallèlement à l'antidiagonale — on moyenne les coordonnées. La symétrie associée $s = 2 p - id$ est $s (x, y) = (y, x)$ : le miroir par rapport à la diagonale !

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