mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Exercice de TD

Toute forme linéaire sur $R_{n} [X]$ est une combinaison d'évaluations ; trapèzes et Simpson

Espaces vectoriels et applications linéaires · F. Rang, formes linéaires et hyperplans · niveau 2

Énoncé

Soient $a_{0}, \dots, a_{n}$ des réels deux à deux distincts et $L_{0}, \dots, L_{n}$ les polynômes de Lagrange associés (chapitre 10 : $L_{i} (a_{j}) = 1$ si $i = j$ , $0$ sinon, et $P = \sum_{i} P (a_{i}) L_{i}$ pour tout $P \in R_{n} [X]$ ).

1) Soit $φ$ une forme linéaire sur $R_{n} [X]$ . Montrer qu'il existe un unique $(λ_{0}, \dots, λ_{n}) \in R^{n + 1}$ tel que $φ (P) = \sum_{i = 0}^{n} λ_{i} P (a_{i})$ pour tout $P \in R_{n} [X]$ .

2) On prend $φ (P) = \int_{0}^{1} P (t) d t$ . Déterminer les $λ_{i}$ pour $n = 1$ et $(a_{0}, a_{1}) = (0, 1)$ (formule des trapèzes), puis pour $n = 2$ et $(a_{0}, a_{1}, a_{2}) = (0, \frac{1}{2}, 1)$ (formule de Simpson).

3) Montrer que la formule de Simpson est exacte sur $R_{3} [X]$ tout entier.

4) Pour $φ \neq = 0$ , $Ker φ$ est un hyperplan de $R_{n} [X]$ : en donner un supplémentaire. Pour $φ = \int_{0}^{1}$ , retrouver que les polynômes constants conviennent.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Une forme linéaire est déterminée par ses valeurs sur une base ; la base de Lagrange est celle où les coordonnées sont des évaluations. Rien de plus que la linéarité n'est utilisé — pas d'espace dual, pas de base duale.

1) Existence et unicité. Existence. Pour $P \in R_{n} [X]$ , la formule d'interpolation $P = \sum_{i = 0}^{n} P (a_{i}) L_{i}$ et la linéarité de $φ$ donnent $φ (P) = i = 0 \sum n P (a_{i}) φ (L_{i}) .$ Les scalaires $λ_{i} = φ (L_{i})$ conviennent. Unicité. Si $φ (P) = \sum_{i} λ_{i} P (a_{i})$ pour tout $P$ , appliquons cette égalité à $P = L_{j}$ : $φ (L_{j}) = \sum_{i} λ_{i} L_{j} (a_{i}) = λ_{j}$ , puisque $L_{j} (a_{i})$ vaut $1$ pour $i = j$ et $0$ sinon. Donc $λ_{j} = φ (L_{j})$ est forcé.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour Simpson, il faudrait calculer les trois polynômes de Lagrange puis les intégrer : c'est lourd. Y a-t-il une façon plus économique d'obtenir les $λ_{i}$ ?

Le 1) dit que $\int_{0}^{1} P = \sum_{i} λ_{i} P (a_{i})$ pour tout $P \in R_{2} [X]$ . Que donne cette égalité si tu l'écris pour des polynômes très simples de $R_{2} [X]$ ?

Élève

Avec $1$ , $X$ , $X^{2}$ , j'obtiens $λ_{0} + λ_{1} + λ_{2} = 1$ , $\frac{1}{2} λ_{1} + λ_{2} = \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{4} λ_{1} + λ_{2} = \frac{1}{3}$ .

C'est le bon système. Pourquoi a-t-il une unique solution, d'après le 1) ? Et la symétrie des points $0, \frac{1}{2}, 1$ par $t \mapsto 1 - t$ ne te donne-t-elle pas une relation entre $λ_{0}$ et $λ_{2}$ avant tout calcul ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →

Toute forme linéaire sur Rn​[X] est une combinaison d'évaluations ; trapèzes et Simpson

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

Toute forme linéaire sur $R_{n} [X]$ est une combinaison d'évaluations ; trapèzes et Simpson