Toute forme linéaire sur ${\mathbb{R}}_n[X]$ est une combinaison d'évaluations ; trapèzes et Simpson

La stratégie. Une forme linéaire est déterminée par ses valeurs sur une base ; la base de Lagrange est celle où les coordonnées sont des évaluations. Rien de plus que la linéarité n'est utilisé — pas d'espace dual, pas de base duale.

1) Existence et unicité. Existence. Pour $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$, la formule d'interpolation $P={\sum }_{i=0}^{n}P(a_i)L_i$ et la linéarité de $\phi$ donnent $$\phi (P)=\sum _{i=0}^{n}P(a_i)\phi (L_i).$$ Les scalaires ${\lambda }_i=\phi (L_i)$ conviennent. Unicité. Si $\phi (P)={\sum }_i{\lambda }_{i}P(a_i)$ pour tout $P$, appliquons cette égalité à $P=L_j$ : $\phi (L_j)={\sum }_i{\lambda }_i{L}_j(a_i)={\lambda }_j$, puisque $L_j(a_i)$ vaut $1$ pour $i=j$ et $0$ sinon. Donc ${\lambda }_j=\phi (L_j)$ est forcé.

2) Deux formules de quadrature. Trapèzes. $n=1$, $a_0=0$, $a_1=1$ : $L_0=1-X$, $L_1=X$. Donc ${\lambda }_0={\int }_0^1(1-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}$ et ${\lambda }_1={\int }_0^{1}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}$ : $$\forall P\in {\mathbb{R}}_1[X],{\int }_0^{1}P=\frac{P(0)+P(1)}{2}.$$ C'est l'aire du trapèze sous la corde.

Simpson. $n=2$, points $0$, $\frac{1}{2}$, $1$ : $$L_0=\frac{(X-\frac{1}{2})(X-1)}{(0-\frac{1}{2})(0-1)}=2X^2-3X+1,L_1=\frac{X(X-1)}{\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})}=-4X^2+4X,L_2=\frac{X(X-\frac{1}{2})}{1\cdot \frac{1}{2}}=2X^2-X.$$ Intégrales sur $[0,1]$ : ${\lambda }_0=\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{6}$ ; ${\lambda }_1=-\frac{4}{3}+2=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ ; ${\lambda }_2=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Contrôle : ${\lambda }_0+{\lambda }_1+{\lambda }_2=1={\int }_0^{1}1$, comme il se doit puisque $1=L_0+L_1+L_2$. $$\forall P\in {\mathbb{R}}_2[X],{\int }_0^{1}P=\frac{P(0)+4P\left(\frac{1}{2}\right)+P(1)}{6}.$$

3) Simpson est exacte au degré 3. Posons, pour $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$, $\psi (P)={\int }_0^{1}P-\frac{P(0)+4P(\frac{1}{2})+P(1)}{6}$ : c'est une forme linéaire sur ${\mathbb{R}}_3[X]$, nulle sur ${\mathbb{R}}_2[X]$ d'après le 2). Décomposons $${\mathbb{R}}_3[X]={\mathbb{R}}_2[X]\oplus \mathrm{Vect}(Q),Q={\left(X-\frac{1}{2}\right)}^3.$$ La somme est directe, car $Q$ est de degré $3$ et n'est donc pas dans ${\mathbb{R}}_2[X]$ ; sa dimension est $3+1=4=\dim {\mathbb{R}}_3[X]$ : c'est bien tout l'espace. Il suffit donc de tester $\psi$ sur $Q$. D'une part ${\int }_0^1{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^3\mathrm{d}t={\left[\frac{(t-\frac{1}{2}{)}^4}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{64}-\frac{1}{64}=0$ ; d'autre part $Q(0)+4Q(\frac{1}{2})+Q(1)=-\frac{1}{8}+0+\frac{1}{8}=0$. Donc $\psi (Q)=0$, et $\psi$, nulle sur les deux facteurs d'une somme directe, est nulle sur ${\mathbb{R}}_3[X]$ : Simpson est exacte au degré 3, un degré de plus que ce que sa construction promettait. C'est la symétrie par rapport à $\frac{1}{2}$ qui l'offre : $Q$ est impair autour de $\frac{1}{2}$, son intégrale et sa valeur symétrisée sont nulles.

Elle s'arrête là. Pour $Q_4=(X-\frac{1}{2}{)}^4$ : ${\int }_0^1{Q}_4=\frac{2}{5}{\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{80}$, tandis que $\frac{Q_4(0)+4Q_4(\frac{1}{2})+Q_4(1)}{6}=\frac{1/16+0+1/16}{6}=\frac{1}{48}$. Différent : Simpson n'est pas exacte au degré $4$.

4) L'hyperplan et son supplémentaire. $\phi \ne 0$ est une forme linéaire non nulle : $\mathrm{Ker}\phi$ est un hyperplan par définition. Le cours dit que si $D$ est une droite non contenue dans un hyperplan $H$, alors $E=H\oplus D$. Il suffit donc de trouver $P_0$ avec $\phi (P_0)\ne 0$ : comme $\phi \ne 0$, l'un des ${\lambda }_i=\phi (L_i)$ est non nul, et $P_0=L_i$ convient. Alors ${\mathbb{R}}_n[X]=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Vect}(L_i)$.

Pour $\phi ={\int }_0^1$ : $\phi (1)=1\ne 0$, donc ${\mathbb{R}}_n[X]=H\oplus {\mathbb{R}}_0[X]$, où $H$ est l'hyperplan des polynômes d'intégrale nulle. Concrètement, tout $P$ s'écrit $P=\left(P-{\int }_0^{1}P\right)+{\int }_0^{1}P$ : sa partie « de moyenne nulle », plus sa moyenne.

Ce que l'exercice installe. Lire une forme linéaire sur une base adaptée — ici celle de Lagrange — transforme un objet abstrait en une formule concrète ; l'intégrale sur les polynômes de degré au plus $n$ devient une somme pondérée de $n+1$ valeurs, et c'est le principe de toute intégration numérique. Et la méthode du 3) est générale : pour montrer qu'une forme linéaire est nulle, on la teste sur les facteurs d'une somme directe.