mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Exercice de TD

$Ker u = Ker u^{2} ⟺ Im u = Im u^{2} ⟺ E = Ker u \oplus Im u$

Espaces vectoriels et applications linéaires · D. Applications linéaires, noyaux et images · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ de dimension finie $n$ et $u \in L (E)$ .

1) Montrer que $Ker u \subset Ker u^{2}$ et $Im u^{2} \subset Im u$ .

2) Montrer que $Ker u = Ker u^{2}$ si et seulement si $Im u = Im u^{2}$ .

3) Montrer que ces conditions équivalent à $Ker u \cap Im u = {0}$ , puis à $E = Ker u \oplus Im u$ .

4) Montrer que si $u^{3} = u$ , alors $E = Ker u \oplus Im u$ . Que se passe-t-il pour un projecteur ? pour un endomorphisme $u \neq = 0$ tel que $u^{2} = 0$ ?

5) Sur $K [X]$ , soit $D : P \mapsto P^{'}$ . Comparer $Ker D$ et $Ker D^{2}$ , puis $Im D$ et $Im D^{2}$ : laquelle des équivalences de la question 2 tombe en dimension infinie ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Deux inclusions sont toujours vraies ; en dimension finie, le théorème du rang lie leurs dimensions, et une inclusion plus une égalité de dimensions font une égalité. Le noyau et l'image se complètent exactement quand $u$ ne « perd plus rien » au second coup.

1) Les inclusions. Si $u (x) = 0$ , alors $u^{2} (x) = u (0) = 0$ : $Ker u \subset Ker u^{2}$ . Si $y = u^{2} (x) = u (u (x))$ , alors $y \in Im u$ : $Im u^{2} \subset Im u$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Montrer que $Ker u = Ker u^{2}$ si et seulement si $Im u = Im u^{2}$ .

Élève

Pour le 2), j'ai voulu montrer directement que $Ker u = Ker u^{2}$ entraîne $Im u \subset Im u^{2}$ : je prends $y = u (x)$ et je cherche $x^{'}$ avec $y = u^{2} (x^{'})$ , mais je ne trouve pas d'antécédent.

Construire un antécédent est difficile ici. Tu es en dimension finie et tu as déjà les inclusions du 1) : que faudrait-il savoir sur les dimensions pour transformer $Im u^{2} \subset Im u$ en égalité ?

Élève

Il faudrait que $rg u^{2} = rg u$ . Et le théorème du rang, appliqué à $u$ puis à $u^{2}$ , exprime ces rangs à l'aide des dimensions des noyaux.

Oui. Écris ces deux égalités sur le même espace $E$ : comment traduisent-elles l'hypothèse $Ker u = Ker u^{2}$ , et pour la réciproque, quelle inclusion du 1) dois-tu invoquer pour passer d'une égalité de dimensions à une égalité de noyaux ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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Keru=Keru2⟺Imu=Imu2⟺E=Keru⊕Imu

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

$Ker u = Ker u^{2} ⟺ Im u = Im u^{2} ⟺ E = Ker u \oplus Im u$