Lecture affine des problèmes linéaires

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 12 — Espaces vectoriels et applications linéaires · G. Géométrie affine et problèmes linéaires

Énoncé

Relire la résolution de $y^{'} + y = x$ (chapitre 4) dans le langage de ce chapitre : identifier l'application linéaire, son noyau, et décrire l'ensemble des solutions comme sous-espace affine.

Corrigé

Posons $u : y \mapsto y^{'} + y$ , linéaire de $C^{1}$ dans $C^{0}$ . Noyau : $Vect (x \mapsto e^{- x})$ — une droite vectorielle. Particulière : $y_{0} (x) = x - 1$ . L'ensemble des solutions est le sous-espace affine : $y_{0} + Ker u = {x \mapsto x - 1 + C e^{- x}} .$ La « constante d'intégration » est la coordonnée le long de $Ker u$ . Le même schéma relit systèmes linéaires, EDL2, suites récurrentes et interpolation — cinq chapitres unifiés par un seul théorème.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.