mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Exercice de TD

Un espace vectoriel n'est jamais réunion finie de sous-espaces stricts

Espaces vectoriels et applications linéaires · A. Espaces et sous-espaces vectoriels · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel, $K = R$ ou $C$ .

1) Soient $F, G$ deux sous-espaces de $E$ . Montrer que $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si $F \subset G$ ou $G \subset F$ .

2) Soient $F_{1}, \dots, F_{n}$ des sous-espaces stricts de $E$ ( $F_{i} \neq = E$ ). On veut montrer que $E \neq = F_{1} \cup \dots \cup F_{n}$ . On raisonne par l'absurde, en supposant qu'il existe un tel recouvrement, et en choisissant $n$ minimal.

a) Montrer que $n \geq 2$ et qu'il existe $x \in F_{1}$ n'appartenant à aucun des $F_{i}$ , $i \geq 2$ , ainsi que $y \in E ∖ F_{1}$ .

b) Pour $t \in K$ , on pose $z_{t} = y + t x$ . Montrer que $z_{t} \in / F_{1}$ pour tout $t$ , et que pour chaque $i \geq 2$ , il existe au plus un $t$ tel que $z_{t} \in F_{i}$ .

c) Conclure, en utilisant que $K$ est infini.

3) Où l'hypothèse « $K$ infini » a-t-elle servi ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'un sous-espace : une partie non vide stable par somme et par multiplication par un scalaire — donc aussi par différence. C'est tout.

1) Deux sous-espaces. Le sens facile. Si $F \subset G$ , alors $F \cup G = G$ , qui est un sous-espace ; de même si $G \subset F$ .

Le sens utile, par contraposée. Supposons que ni $F \subset G$ ni $G \subset F$ : il existe $x \in F$ avec $x \in / G$ , et $y \in G$ avec $y \in / F$ . Les deux vecteurs sont dans $F \cup G$ . Si $F \cup G$ était un sous-espace, il contiendrait $x + y$ , donc $x + y \in F$ ou $x + y \in G$ . Si $x + y \in F$ : comme $x \in F$ et que $F$ est stable par différence, $y = (x + y) - x \in F$ , contradiction. Si $x + y \in G$ : de même $x = (x + y) - y \in G$ , contradiction. Donc $x + y \in / F \cup G$ : la réunion n'est pas un sous-espace.

Le point délicat est le choix simultané des deux témoins, chacun échappant à l'autre sous-espace : c'est le couple $(x, y)$ qui rend $x + y$ inclassable. Dans $R^{2}$ , la réunion des deux axes est une croix, et $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ n'est sur aucun axe.

Question 2 : comment l'IA t'aide

a) Montrer que $n \geq 2$ et qu'il existe $x \in F_{1}$ n'appartenant à aucun des $F_{i}$ , $i \geq 2$ , ainsi que $y \in E ∖ F_{1}$ .

b) Pour $t \in K$ , on pose $z_{t} = y + t x$ . Montrer que $z_{t} \in / F_{1}$ pour tout $t$ , et que pour chaque $i \geq 2$ , il existe au plus un $t$ tel que $z_{t} \in F_{i}$ .

Élève

Pour le 2a), $n \geq 2$ est clair. Mais pour trouver $x \in F_{1}$ hors de tous les autres $F_{i}$ , je ne vois pas d'où viendrait un tel vecteur : $F_{1}$ pourrait très bien être inclus dans la réunion des autres.

Suppose que ce soit le cas : que deviendrait alors le recouvrement $E = F_{1} \cup \dots \cup F_{n}$ ? Confronte le résultat avec la façon dont $n$ a été choisi.

Élève

On aurait $E = F_{2} \cup \dots \cup F_{n}$ , un recouvrement par $n - 1$ sous-espaces stricts, contraire à la minimalité. Pour le b), $z_{t} \in / F_{1}$ vient de $y \in / F_{1}$ , mais je bloque sur « au plus un $t$ ».

Suppose qu'il existe $t \neq = t^{'}$ avec $z_{t}$ et $z_{t^{'}}$ dans $F_{i}$ : quel vecteur peux-tu former avec ces deux-là en restant dans $F_{i}$ , et quelle propriété de $x$ cela mettrait-il en défaut ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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