mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Exercice de TD

$p + q$ est un projecteur si et seulement si $pq = q p = 0$

Espaces vectoriels et applications linéaires · E. Projecteurs et symétries · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$ .

1) Montrer que si $pq = q p = 0$ , alors $p + q$ est un projecteur.

2) Réciproquement, on suppose $p + q$ projecteur. Montrer que $pq + q p = 0$ , puis, en multipliant cette égalité à gauche puis à droite par $p$ , que $pq = q p$ , et enfin que $pq = q p = 0$ .

3) Dans ce cas, montrer que $Im (p + q) = Im p \oplus Im q$ et $Ker (p + q) = Ker p \cap Ker q$ .

4) Application : si $p + q = id$ , montrer que $pq = q p = 0$ , que $E = Im p \oplus Im q$ , et identifier $Im q$ à partir de $p$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le calcul dans l'anneau $L (E)$ — non commutatif, il faut respecter l'ordre des facteurs — et la caractérisation $p^{2} = p$ . Un projecteur fixe son image : si $y = p (a)$ , alors $p (y) = p^{2} (a) = y$ .

1) Sens direct. Développons en respectant l'ordre : $(p + q)^{2} = p^{2} + pq + q p + q^{2} = p + pq + q p + q .$ Si $pq = q p = 0$ , il reste $(p + q)^{2} = p + q$ : projecteur.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Réciproquement, on suppose $p + q$ projecteur. Montrer que $pq + q p = 0$ , puis, en multipliant cette égalité à gauche puis à droite par $p$ , que $pq = q p$ , et enfin que $pq = q p = 0$ .

Élève

En développant $(p + q)^{2} = p + q$ , j'ai bien $pq + q p = 0$ . En multipliant à gauche par $p$ , il vient $pq + pq p = 0$ , mais le terme $pq p$ me bloque : je ne sais rien de lui.

Tu n'as pas besoin de le connaître, seulement de t'en débarrasser. L'énoncé suggère une seconde multiplication, à droite par $p$ cette fois : quelle relation obtiens-tu, et quel terme a-t-elle en commun avec la première ?

Élève

À droite, j'obtiens $pq p + q p = 0$ . Le terme $pq p$ figure dans les deux relations : en les soustrayant, il disparaît, et j'obtiens que $p$ et $q$ commutent.

Reporte cette commutation dans $pq + q p = 0$ : à quelle égalité aboutis-tu, et quelle propriété du corps $K$ utilises-tu pour en tirer la nullité de $pq$ , puis celle de $q p$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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p+q est un projecteur si et seulement si pq=qp=0

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

$p + q$ est un projecteur si et seulement si $pq = q p = 0$