$p+q$ est un projecteur si et seulement si $pq=qp=0$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le calcul dans l'anneau $\mathcal{L}(E)$ — non commutatif, il faut respecter l'ordre des facteurs — et la caractérisation $p^2=p$. Un projecteur fixe son image : si $y=p(a)$, alors $p(y)=p^2(a)=y$.

1) Sens direct. Développons en respectant l'ordre : $$(p+q{)}^2=p^2+pq+qp+q^2=p+pq+qp+q.$$ Si $pq=qp=0$, il reste $(p+q{)}^2=p+q$ : projecteur.

2) Sens réciproque. Supposons $(p+q{)}^2=p+q$. Le calcul précédent donne $p+pq+qp+q=p+q$, donc $$pq+qp=0.$$ Multiplions à gauche par $p$ : $ppq+pqp=pq+pqp=0$. Multiplions à droite par $p$ : $pqp+qpp=pqp+qp=0$. Retranchons la seconde de la première : $pq-qp=0$, donc $pq=qp$. Reportons dans $pq+qp=0$ : $2pq=0$, donc $pq=0$ (on divise par $2$ : c'est $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), et $qp=pq=0$.

Le point délicat. Multiplier une relation par l'un de ses termes est le réflexe qui fait apparaître les carrés, et les carrés sont connus : $p^2=p$. Le terme croisé $pqp$, inconnu, apparaît dans les deux produits et s'élimine par soustraction. C'est du calcul dans un anneau, avec la seule information $p^2=p$.

3) Image et noyau de $p+q$. L'image. D'une part $\mathrm{Im}(p+q)\subset \mathrm{Im}p+\mathrm{Im}q$ (exercice 5). D'autre part, si $y\in \mathrm{Im}p$, alors $(p+q)(y)=p(y)+q(y)=y+q(p(a))$ avec $y=p(a)$, soit $y+(qp)(a)=y$ : donc $y\in \mathrm{Im}(p+q)$ ; de même pour $\mathrm{Im}q$. Ainsi $\mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}p+\mathrm{Im}q$. Directe : soit $x\in \mathrm{Im}p\cap \mathrm{Im}q$ ; $x=p(x)$ (un projecteur fixe son image) et $x=q(b)$, donc $x=p(q(b))=(pq)(b)=0$.

Le noyau. Si $p(x)=q(x)=0$, alors $(p+q)(x)=0$. Réciproquement, si $p(x)+q(x)=0$, appliquons $p$ : $p(x)+(pq)(x)=p(x)=0$ ; appliquons $q$ : $(qp)(x)+q(x)=q(x)=0$. Donc $\mathrm{Ker}(p+q)=\mathrm{Ker}p\cap \mathrm{Ker}q$.

4) Deux projecteurs de somme identité. L'identité est un projecteur (${\mathrm{id}}^2=\mathrm{id}$), donc le 2) donne $pq=qp=0$. Le 3) donne $E=\mathrm{Im}(\mathrm{id})=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Im}q$. Enfin $q=\mathrm{id}-p$, et le cours dit $\mathrm{Im}(\mathrm{id}-p)=\mathrm{Ker}p$ : $\mathrm{Im}q=\mathrm{Ker}p$. La décomposition obtenue est $E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Ker}p$, la décomposition canonique d'un projecteur.

Contrôle dans ${\mathbb{R}}^3$. $p(x,y,z)=(x-z,y-z,0)$, projection sur le plan $\{z=0\}$ parallèlement à $\mathrm{Vect}((1,1,1))$, et $q=\mathrm{id}-p$, soit $q(x,y,z)=(z,z,z)$ : $q^2=q$, $pq=qp=0$, rangs $2$ et $1$ de somme $3$.

Ce que l'exercice installe. Une famille de projecteurs deux à deux orthogonaux ($p_i{p}_j=0$ pour $i\ne j$) et de somme $\mathrm{id}$ découpe $E$ en somme directe de leurs images : c'est la décomposition de l'identité en projecteurs, le germe de la diagonalisation de seconde année.