mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Application directe du cours

Bijectivité par le théorème du rang

Espaces vectoriels et applications linéaires · D. Applications linéaires, noyaux et images · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $φ : R_{n} [X] \to R_{n} [X]$ , $φ (P) = P - P^{'}$ . Montrer que $φ$ est un automorphisme, et en déduire que $P - P^{'} = Q$ admet une unique solution dans $R_{n} [X]$ . L'expliciter pour $Q = X^{2}$ .

Corrigé

Injectivité : $P = P^{'}$ avec $P \neq = 0$ est impossible ( $de g P^{'} = de g P - 1$ ) : $Ker φ = {0}$ .

Bijectivité : endomorphisme injectif en dimension finie : bijectif. Donc $P - P^{'} = Q$ a toujours une unique solution.

Pour $Q = X^{2}$ : $P = X^{2} + 2 X + 2$ . (On a prouvé l'existence avant tout calcul : la force de l'algèbre linéaire.)

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