mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Application directe du cours

Supplémentaires et décomposition

Espaces vectoriels et applications linéaires · A. Espaces et sous-espaces vectoriels · niveau 2

Énoncé

Dans $R^{3}$ , soient $F = {(x, y, z) : x + y + z = 0}$ et $G = Vect ((1, 1, 1))$ . Montrer que $R^{3} = F \oplus G$ et décomposer $v = (1, 2, 3)$ .

Corrigé

Intersection : $t (1, 1, 1) \in F$ force $3 t = 0$ : $F \cap G = {0}$ . Dimensions : $2 + 1 = 3$ : par la caractérisation dimensionnelle, $R^{3} = F \oplus G$ .

Décomposition : $v = f + t (1, 1, 1)$ avec $\sum f = 0$ : $6 - 3 t = 0$ , $t = 2$ : $(1, 2, 3) = \in F (- 1, 0, 1) + \in G (2, 2, 2) .$ (Le projecteur sur $G$ est $v \mapsto \frac{x + y + z}{3} (1, 1, 1)$ : la moyenne des coordonnées.)

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