Soient F et G deux plans (vectoriels) distincts de ℝ³. Montrer, par la…

La stratégie : la formule de Grassmann, encadrée par les deux seules valeurs possibles de $\dim (F+G)$. On ne cherche pas l'intersection : on calcule sa dimension, et la dimension suffit à conclure « c'est une droite ».

1) Ce qu'on sait. $F$ et $G$ sont des plans vectoriels de ${\mathbb{R}}^3$, donc $\dim F=\dim G=2$, et $F\ne G$. La formule de Grassmann s'écrit $$\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)=4-\dim (F\cap G)$$

2) Encadrement de $\dim (F+G)$. D'une part $F+G\subset {\mathbb{R}}^3$, donc $\dim (F+G)\le 3$. D'autre part $F\subset F+G$, donc $\dim (F+G)\ge 2$. Il n'y a donc que deux valeurs possibles, $2$ ou $3$.

• Le cas $\dim (F+G)=2$ est exclu. Si $\dim (F+G)=2$, alors $F\subset F+G$ avec $\dim F=\dim (F+G)$, donc $F=F+G$ ; de même $G=F+G$. On aurait $F=G$, contraire à l'hypothèse.
• Donc $\dim (F+G)=3$, et Grassmann donne $$\dim (F\cap G)=4-3=1$$ $F\cap G$ est un sous-espace de dimension $1$ de ${\mathbb{R}}^3$ : c'est une droite vectorielle.

⚠️ C'est exactement ici que sert l'hypothèse $F\ne G$, et nulle part ailleurs : sans elle, $F\cap G=F$ serait un plan. On voit aussi passer le lemme qui rend l'argument possible : un sous-espace inclus dans un autre et de même dimension finie lui est égal — faux en dimension infinie, où $X\mathbb{R}[X]⊊\mathbb{R}[X]$ sans que les « dimensions » diffèrent.

3) Lecture géométrique. Deux plans distincts de l'espace ne sont jamais « parallèles » au sens vectoriel : passant tous deux par l'origine, ils se coupent toujours, et toujours selon une droite. Le parallélisme sans intersection est un phénomène affine, pas vectoriel.

Contrôle numérique. Prenons $F=\{z=0\}=\mathrm{Vect}((1,0,0),(0,1,0))$ et $G=\{y=0\}=\mathrm{Vect}((1,0,0),(0,0,1))$.

La droite prédite par Grassmann est bien l'axe des abscisses. Et le cas interdit se voit aussi : avec $F=G=\{z=0\}$, le rang de la réunion tombe à $2$, et Grassmann rend $\dim (F\cap G)=2$ — un plan, pas une droite.

Ce que l'exercice installe. Grassmann transforme une question d'intersection (difficile : il faut résoudre) en une question de dimension (facile : il suffit de compter). Le même argument donne dans ${\mathbb{R}}^n$ : deux hyperplans distincts se coupent selon un sous-espace de dimension $n-2$.