mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Application directe du cours

Les deux représentations d'un sous-espace

Espaces vectoriels et applications linéaires · F. Rang, formes linéaires et hyperplans · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans $R^{3}$ : donner un système d'équations de $D = Vect ((1, 2, 3))$ , puis une paramétrisation du plan $Π : x + y + z = 0$ .

Corrigé

Droite : en éliminant $t = x$ dans $(x, y, z) = t (1, 2, 3)$ : $D : 2 x - y = 0, 3 x - z = 0$ — une droite ( $dim 1 = 3 - 2$ ) est l'intersection de deux hyperplans.

Plan : $x = - y - z$ donne $Π = Vect ((- 1, 1, 0), (- 1, 0, 1))$ — deux degrés de liberté. Passer d'une représentation à l'autre, c'est résoudre un système linéaire.

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