Dans ℝ³, déterminer l'expression du projecteur sur le plan {z = 0}…

La stratégie : écrire la décomposition $R^{3} = P \oplus D$ à la main, puis lire le projecteur dessus. Un projecteur sur $P$ parallèlement à $D$ est défini par : on décompose $v = p (v) + d$ avec $p (v) \in P$ et $d \in D$ , et on ne garde que la première composante. Tout revient donc à trouver le paramètre de la décomposition.

Notons $P = {z = 0}$ et $D = Vect ((1, 1, 1))$ .

1) La somme est directe. $dim P = 2$ et $dim D = 1$ , donc $dim P + dim D = 3 = dim R^{3}$ ; il suffit de voir que $P \cap D = {0}$ . Un vecteur de $D$ s'écrit $t (1, 1, 1)$ ; il est dans $P$ si sa troisième coordonnée $t$ est nulle, donc s'il est nul. Ainsi $R^{3} = P \oplus D$ , et le projecteur est bien défini.

2) La décomposition explicite. Soit $v = (x, y, z)$ . Cherchons $t$ tel que $v - t (1, 1, 1) \in P$ , c'est-à-dire de troisième coordonnée nulle : $z - t = 0 ⟹ t = z$ D'où la décomposition, unique : $(x, y, z) = \in P (x - z, y - z, 0) + \in D z (1, 1, 1)$ et donc $p (x, y, z) = (x - z, y - z, 0)$ Sa matrice dans la base canonique a pour colonnes $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ et $(- 1, - 1, 0)$ .

3) La symétrie associée. La symétrie par rapport à $P$ parallèlement à $D$ est $s = 2 p - id$ (elle fixe $P$ et change $D$ en son opposé) : $s (x, y, z) = (x - 2 z, y - 2 z, - z)$

⚠️ Ne pas confondre avec la projection orthogonale. La projection orthogonale sur ${z = 0}$ serait $(x, y, z) \mapsto (x, y, 0)$ , qui envoie $(1, 1, 1)$ sur $(1, 1, 0) \neq = 0$ : ce n'est pas notre $p$ , dont le noyau doit être exactement $D$ . La direction de projection change tout, et rien dans l'énoncé ne parle d'orthogonalité.

Contrôle numérique.

vérification	résultat mesuré
$p \circ p = p$	oui (matrice inchangée au carré)
$Im p$	$Vect ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) = P$ , rang $2$
$Ker p$	$Vect ((1, 1, 1)) = D$
$p$ fixe $P$ ?	$p (1, 0, 0) = (1, 0, 0)$ , $p (0, 1, 0) = (0, 1, 0)$
$p (1, 1, 1)$	$(0, 0, 0)$
$s \circ s = id$	oui
$Ker (s - id)$ / $Ker (s + id)$	$P$ / $D$

Sur un vecteur concret, $v = (2, 5, 3)$ : $p (v) = (- 1, 2, 0)$ , qui est bien dans $P$ , et le reste $v - p (v) = (3, 3, 3) = 3 (1, 1, 1)$ est bien dans $D$ . La symétrie donne $s (v) = (- 4, - 1, - 3) = 2 p (v) - v$ . ✔

Ce que l'exercice installe. Un projecteur se lit sur une décomposition, jamais sur une formule devinée : $Im p$ donne la base de projection, $Ker p$ la direction. Le couple $(p, s = 2 p - id)$ est le dictionnaire standard entre projecteurs ( $p^{2} = p$ ) et symétries ( $s^{2} = id$ ).

Énoncé

Corrigé