Dans ℝ³, déterminer l'expression du projecteur sur le plan {z = 0}…

La stratégie : écrire la décomposition ${\mathbb{R}}^3=P\oplus D$ à la main, puis lire le projecteur dessus. Un projecteur sur $P$ parallèlement à $D$ est défini par : on décompose $v=p(v)+d$ avec $p(v)\in P$ et $d\in D$, et on ne garde que la première composante. Tout revient donc à trouver le paramètre de la décomposition.

Notons $P=\{z=0\}$ et $D=\mathrm{Vect}((1,1,1))$.

1) La somme est directe. $\dim P=2$ et $\dim D=1$, donc $\dim P+\dim D=3=\dim {\mathbb{R}}^3$ ; il suffit de voir que $P\cap D=\{0\}$. Un vecteur de $D$ s'écrit $t(1,1,1)$ ; il est dans $P$ si sa troisième coordonnée $t$ est nulle, donc s'il est nul. Ainsi ${\mathbb{R}}^3=P\oplus D$, et le projecteur est bien défini.

2) La décomposition explicite. Soit $v=(x,y,z)$. Cherchons $t$ tel que $v-t(1,1,1)\in P$, c'est-à-dire de troisième coordonnée nulle : $$z-t=0⟹t=z$$ D'où la décomposition, unique : $$(x,y,z)=\underset{\in P}{\underbrace{(x-z,y-z,0)}}+\underset{\in D}{\underbrace{z(1,1,1)}}$$ et donc $$\boxed{p(x,y,z)=(x-z,y-z,0)}$$ Sa matrice dans la base canonique a pour colonnes $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ et $(-1,-1,0)$.

3) La symétrie associée. La symétrie par rapport à $P$ parallèlement à $D$ est $s=2p-\mathrm{id}$ (elle fixe $P$ et change $D$ en son opposé) : $$\boxed{s(x,y,z)=(x-2z,y-2z,-z)}$$

⚠️ Ne pas confondre avec la projection orthogonale. La projection orthogonale sur $\{z=0\}$ serait $(x,y,z)\mapsto (x,y,0)$, qui envoie $(1,1,1)$ sur $(1,1,0)\ne 0$ : ce n'est pas notre $p$, dont le noyau doit être exactement $D$. La direction de projection change tout, et rien dans l'énoncé ne parle d'orthogonalité.

Contrôle numérique.

vérification	résultat mesuré
$p\circ p=p$	oui (matrice inchangée au carré)
$\mathrm{Im}p$	$\mathrm{Vect}((1,0,0),(0,1,0))=P$, rang $2$
$\mathrm{Ker}p$	$\mathrm{Vect}((1,1,1))=D$
$p$ fixe $P$ ?	$p(1,0,0)=(1,0,0)$, $p(0,1,0)=(0,1,0)$
$p(1,1,1)$	$(0,0,0)$
$s\circ s=\mathrm{id}$	oui
$\mathrm{Ker}(s-\mathrm{id})$ / $\mathrm{Ker}(s+\mathrm{id})$	$P$ / $D$

Sur un vecteur concret, $v=(2,5,3)$ : $p(v)=(-1,2,0)$, qui est bien dans $P$, et le reste $v-p(v)=(3,3,3)=3(1,1,1)$ est bien dans $D$. La symétrie donne $s(v)=(-4,-1,-3)=2p(v)-v$. ✔

Ce que l'exercice installe. Un projecteur se lit sur une décomposition, jamais sur une formule devinée : $\mathrm{Im}p$ donne la base de projection, $\mathrm{Ker}p$ la direction. Le couple $(p,s=2p-\mathrm{id})$ est le dictionnaire standard entre projecteurs ($p^2=p$) et symétries ($s^2=\mathrm{id}$).